Condiciones iniciales de movimiento armónico amortiguado

Question

Condiciones iniciales de movimiento armónico amortiguado

alexp9

Estaba leyendo la sección de Halliday sobre el movimiento armónico simple amortiguado, que establecía que esta ecuación:

- b \dot{X} - k X = metro \ddot{X}

$-b\dot{x} - kx = m \ddot{x}$

Es la ecuación diferencial que dicta el desplazamiento del objeto, y $b$ es la constante de amortiguamiento del sistema.

El autor afirma que la solución de la ecuación es:

X (t) = X_{metro} {mi}^{- b t / 2 metro} porque (ω^{'} t + ϕ)

$x(t)=x_m \mathrm e^{-bt/2m}\cos(\omega't+\phi)$

Supongamos que queremos establecer condiciones iniciales $x(0) = x_0$ y $x'(0) = 0$ . Dando las ecuaciones

X_{metro} porque (ϕ) = X_{0}

$x_m \cos(\phi) = x_0$

- \frac{X_{metro} b}{2 metro} porque (ϕ) - X_{metro} ω^{'} pecado (ϕ) = 0 ⟹ \frac{b}{2 metro} porque (ϕ) + ω^{'} pecado (ϕ) = 0

$-\frac{x_m b}{2m} \cos(\phi) - x_m \omega' \sin(\phi) = 0 \implies \frac{b}{2m} \cos(\phi)+\omega' \sin(\phi) = 0$

Físicamente, me encantaría decir que las condiciones iniciales impuestas son, a priori, la amplitud máxima y la velocidad inicial. Si eso es correcto, entonces la primera ecuación implicaría que $x_m = x_0$ y $\cos(\phi) = 1$ (y por lo tanto $\sin(\phi) = 0$ )

Sin embargo, eso no tiene sentido, ya que si sustituimos estos valores en la segunda ecuación, obtenemos

\frac{b}{2 metro} = 0

$\frac{b}{2m} = 0$ Sino ambos

m

$m$ (masa) y

b

$b$ (constante de amortiguamiento) son distintos de cero. ¿Qué le pasa a mi intuición?

Además, si comenzamos con la segunda ecuación y resolvemos para $\phi$ , obtenemos $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{-b}{2m\omega'}\right)$ . Y entonces estaríamos obligados a aceptar que $x_m = \frac{x_0}{\cos(\phi)}$ . Si es correcto, entonces ¿qué significa $x_m$ representan, si no sólo una constante matemática?

Respuestas (3)

Condiciones iniciales de movimiento armónico amortiguado

147875 · Answer 1

Aquí $x_m$ representa el desplazamiento del oscilador no amortiguado; con las condiciones iniciales correctas, puede equiparar eso con el desplazamiento máximo, es decir, la amplitud. donde como el producto $x_m e^{-bt/2m}$ es la amplitud decreciente del oscilador amortiguado.

Dada la condición inicial, $x(t=0) = x_0$ , usted obtiene

X_{metro} = \frac{X_{0}}{porque (ϕ)}

$x_m = \frac{x_0}{\cos(\phi)}$

y la condición inicial $x'(t=0) = 0$ significa que la velocidad inicial del oscilador es cero, durante la cual no se produce amortiguamiento, porque el factor de amortiguamiento $f \propto -\dot{x}$ , debido a esta condición inicial estás obteniendo

\frac{b}{2 metro} = 0 ⟹ b = 0

$\frac{b}{2m} = 0 \implies b = 0$

lo anterior indica que la amortiguación tiene lugar una vez que el oscilador comienza a moverse.

Ok, me acostumbraré al hecho de que $x_m$ no es necesariamente la amplitud. Gracias por su respuesta.

Neuroinglés · Answer 2

Esto es una trampa algebraica...

Está suponiendo que xm siempre es la amplitud máxima del movimiento. Eso está mal.

Veamos esta ecuación:

a = - ω X

$a =- \omega x$

X = A C o s (ω t) + B s i norte (ω t)

$x = Acos(\omega t) + Bsin(\omega t)$

o para imitar tu expresión:

X = X_{metro} C o s (ω t + ϕ)

$x = x_mcos(\omega t + \phi)$

Si la amplitud inicial, es x0 :

A = X_{metro} C o s (ϕ)

$A = x_mcos(\phi)$

pero con tu lógica, aquí tendremos:

A = X_{metro}

$A = x_m$

y como puedes ver eso no es correcto. bot phi y xm son variables que deben calcularse.

La mayoría de las personas terminan olvidándose de la fase e intuitivamente asumen que el movimiento es solo la amplitud multiplicada por un seno/coseno, pero eso no es correcto cuando se usan estas expresiones matemáticas, por lo general se olvida que

X_{metro} = A

$x_m = A$

C o s (ϕ) = 1

$cos(\phi)=1$

es un conjunto de soluciones, también lo son

X_{metro} = 3 A

$x_m = 3A$

C o s (ϕ) = \frac{1}{3}

$cos(\phi) = \frac{1}{3}$

pero tiene otras ecuaciones (otras condiciones iniciales) en las que estos valores también deberían ser correctos...

xm, phi y todas estas son variables que calculas tú.

joiguo · Answer 3

Las respuestas que vinieron antes de mí perfectamente bien. Solo agregaré una imagen intuitiva significativa de lo que está sucediendo. Imagine en su mente el oscilador comenzando en $x_m$ pero con la velocidad inicial alejándose de la posición de equilibrio. ¿Por qué te identificarías? $x\left(0\right)$ con la amplitud? Ejercicio interesante: fije la velocidad inicial en cero y vea qué sucede, como sugiere @ 147875.

Condiciones iniciales de movimiento armónico amortiguado

alexp9

Respuestas (3)

147875

alexp9

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