Independencia de Periodo y Amplitud en Movimiento Armónico Simple

Un movimiento armónico simple es aquel en el que la aceleración (o fuerza restauradora) es directamente proporcional al desplazamiento y en dirección opuesta al desplazamiento. para una masa$m$en un resorte con constante de resorte$k$, la ecuación diferencial que describe el movimiento se convierte en:

$m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -kx$

Esa ecuación tiene como solución:

$x(t) = A\cos\left(\omega t + \varphi\right)$

con$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

$A$y$\varphi$están determinadas únicamente por las condiciones iniciales: por ejemplo, si la masa m se libera de la posición$x_0$en t=0, entonces$A=x_0$y$\varphi=0$. La frecuencia está determinada por la relación$k/m$y es independiente de las condiciones iniciales.

No creo que puedas demostrarlo comenzando por la ecuación, pero queda claro cuando resuelves la ecuación diferencial que las dos cantidades son independientes:$\omega$es un parámetro arbitrario en la ecuación de movimiento, y A es una constante arbitraria que aparece en la solución.