¿Cómo puedo derivar la solución del oscilador armónico subamortiguado?

La pregunta es fácil.

Los puntos clave de su problema son que$A_+$y$A_-$son números complejos y$A_+e^{i\omega t}+A_-e^{-i\omega t}= \text{Real Number}$, porque no podemos tener un desplazamiento imaginario$x(t)$.

A continuación, empezamos a resolver tu problema a partir de la ecuación

$$x(t)=e^{-\frac{\beta t}{2}}(A_+e^{i\omega t}+A_-e^{-i\omega t})$$ utilizando la fórmula de Euler $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$, tenemos $$A_+e^{i\omega t} =A_+\cos\omega t+iA_+\sin\omega t\\ A_-e^{-i\omega t} =A_-\cos\omega t-iA_-\sin\omega t$$

Luego sumamos las dos ecuaciones anteriores y obtenemos

$$A_+e^{i\omega t}+A_-e^{-i\omega t}=(A_++A_-)\cos\omega t+i(A_+-A_-)\sin\omega t$$ Porque te dije que el lado izquierdo de la ecuación anterior es real anteriormente, y $\cos\omega t$, $\sin\omega t$ambos son reales, podemos obtener $$A_1 =A_++A_-=\text{Real Constant}\\ A_2 =i(A_+-A_-)=\text{Real Constant}$$

Finalmente, obtenemos el resultado,

$$x(t)=e^{-\frac{\beta t}{2}}(A_1\cos\omega t+A_2\sin\omega t)$$