Ecuación exacta de curvas exponenciales de movimiento armónico subamortiguado

Estaba estudiando el movimiento armónico subamortiguado y sentí curiosidad por el hecho de que las exponenciales decrecientes ± A mi − γ t son buenas aproximaciones solo para amortiguamiento ligero ( γ << ω ) . Así que he buscado y encontrado que ± A mi − γ t son la envolvente del movimiento (es decir, tangentes a los puntos de la curva que lo representa) y los puntos de tangencia no coinciden con los máximos y mínimos de la curva, como se muestra en la imagen a continuación (Fuente: leancrew.com):Máximo vs Punto de Tangencia

La pregunta que vino inmediatamente a mi mente fue "¿Cómo encontrar las exponenciales que contienen todos los puntos máximos/mínimos?" , así que busqué más y encontré una nota al pie en la Introducción a la mecánica clásica de Morin:

Para ser precisos, la amplitud no disminuye exactamente como C mi − γ t , como la ecuación. (4.16) sugiere, porque C mi − γ t describe la envolvente del movimiento, y no la curva que pasa por los extremos del movimiento. Puede demostrar que la amplitud de hecho disminuye como

C mi − γ t ⋅ C o s ( t a norte − 1 ( γ / ω ~ ) ) .
Esta es la expresión de la curva que pasa por los extremos.

ecuación (4.16):

  X ( t ) = mi − γ t ( A mi i ω ~ t + B mi − i ω ~ t ) ≡ mi − γ t C   C o s ( ω ~ t + ϕ )
ω ~ ≡ ω 2 − γ 2

Entonces, ahora sé la ecuación de exponenciales que contiene todos los puntos de máximo/mínimo:

± C mi − γ t ⋅ C o s ( t a norte − 1 ( γ / ω ~ ) )

pero, después de intentarlo mucho, todavía no podía averiguar cómo deducirlos de la ecuación. (4.16). ¿Cómo puedo hacer esto?

Respuestas (2)

pero, después de intentar mucho, todavía no podía encontrar la manera de deducirlos

Has probado:

d X d t = − γ mi − γ t C porque ⁡ ( ω ~ t + ϕ ) − ω ~ mi − γ t C pecado ⁡ ( ω ~ t + ϕ )

que es cero cuando

broncearse − 1 ⁡ γ ω ~ = − ( ω ~ t + ϕ )

Lo lamento. No sé por qué, pero no se me ocurrió derivar la expresión. Ahora, después de tu consejo, creo que descubrí cómo deducir la ecuación de las exponenciales. Publicaré mi deducción, ¿podría mirar para ver si todo está bien?
Publiqué la deducción.
@ViniciusACP, y lo he votado a favor. Por cierto, si usa \tan en lugar de tan en su mathjax, obtiene broncearse en vez de t a norte . Del mismo modo para las otras funciones trigonométricas. Además, creo que puedes aceptar tu propia respuesta.
Lo arreglé ahora para todo pecado, cos y bronceado. Gracias por tu ayuda.

La imagen de abajo (Fuente: Wikipedia) es un gráfico de la curva   X ( t ) = mi − γ t C   porque ⁡ ( ω ~ t + ϕ ) :

                            

Necesitamos hacer que el coseno sea fijo de manera que la expresión anterior seleccione todos los valores máximos/mínimos (extremos) de la curva. Para lograr esto, es necesario encontrar todos los instantes en que ocurren los puntos de inflexión (puntos extremos) y sustituirlos dentro de porque ⁡ ( ω ~ t + ϕ ) .

Recordando el teorema de Fermat de Cálculo:

Si F ( X ) tiene un extremo relativo en X = C y F ( C ) existe, entonces X = C es un punto crítico de F ( X ) . De hecho, será un punto crítico tal que F ′ ( C ) = 0

Usando este teorema, podemos encontrar todos los extremos relativos (que es exactamente lo que estamos buscando):

X ˙ ( t ) = 0 ⟺ − γ mi − γ t C porque ⁡ ( ω ~ t + ϕ ) − ω ~ mi − γ t C pecado ⁡ ( ω ~ t + ϕ ) = 0
− γ ω ~ = pecado ⁡ ( ω ~ t + ϕ ) porque ⁡ ( ω ~ t + ϕ ) = broncearse ⁡ ( ω ~ t + ϕ ) ⟺ ( 1 ) ω ~ t + ϕ = broncearse − 1 ⁡ ( − γ ω ~ ) + norte π , norte ∈ Z
ω ~ t + ϕ = broncearse − 1 ⁡ ( − γ ω ~ ) + norte π , norte ∈ Z ⟺ ( 2 ) t = − broncearse − 1 ⁡ ( γ / ω ~ ) − ϕ + norte π ω ~ , norte ∈ norte

Nota: Mirando la expresión de t , podemos tener tiempo negativo. Para evitarlo, basta con hacer:

− broncearse − 1 ⁡ ( γ / ω ~ ) − ϕ + norte π ≥ 0 ⟺ ( 3 ) norte ≥ ⌈ broncearse − 1 ⁡ ( − γ / ω ~ ) + ϕ π ⌉ , norte ∈ norte

Sustituyendo todos los instantes en que ocurren los puntos de giro dentro del coseno de la expresión inicial, tenemos:

mi − γ t C   porque ⁡ ( ω ~ t + ϕ ) = mi − γ t C   porque ⁡ [ ω ~ ⋅ ( − broncearse − 1 ⁡ ( γ / ω ) − ϕ + norte π ω ~ ) + ϕ ] = mi − γ t C   porque ⁡ [ − broncearse − 1 ⁡ ( γ / ω ~ ) + norte π ]

Simplificando el coseno:

porque ⁡ [ − broncearse − 1 ⁡ ( γ / ω ~ ) + norte π ] = porque ⁡ [ − broncearse − 1 ⁡ ( γ / ω ~ ) ] ⋅ porque ⁡ ( norte π ) − pecado ⁡ [ − broncearse − 1 ⁡ ( γ / ω ~ ) ] ⋅ pecado ⁡ ( norte π ) = porque ⁡ [ broncearse − 1 ⁡ ( γ / ω ~ ) ] ⋅ ( ± 1 ) − pecado ⁡ [ − broncearse − 1 ⁡ ( γ / ω ~ ) ] ⋅ 0 = ± porque ⁡ [ broncearse − 1 ⁡ ( γ / ω ~ ) ]

Por lo tanto, la modulación de la amplitud viene dada por METRO ( t ) , dónde:

METRO ( t ) = ±   mi − γ t C   porque ⁡ [ broncearse − 1 ⁡ ( γ / ω ~ ) ]

Si tenemos un vertido ligero ( γ << ω ) , entonces se puede hacer la siguiente simplificación:

METRO ( t ) ≈ ±   mi − γ t C   porque ⁡ [ broncearse − 1 ⁡ ( ≈ 0 ) ] ≈ ±   mi − γ t C   porque ⁡ [ ≈ 0 ] ≈ ±   mi − γ t C

Notas:

(1)   broncearse ⁡ ( y ) = X ⟺ y = broncearse − 1 ⁡ ( X ) + k π , k ∈ Z

(2)   broncearse − 1 ⁡ ( − X ) = − broncearse − 1 ⁡ ( X ) y porque ⁡ ( − X ) = porque ⁡ ( X ) , por lo que es suficiente para usar norte ∈ norte en lugar de norte ∈ Z

(3)   ⌈ C mi i yo ⌉ porque norte ∈ norte

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