Soy lego en la teoría de categorías. Tratando de entenderlo, solo leí un poco de información sobre él y las páginas wiki de Categoría, Funtor, Morfismo. Sin embargo, todavía no podía ver los méritos de la misma.
La teoría de categorías, a los ojos del profano, es otra capa de resumen, similar a la inducción, la poset, el buen ordenamiento de la teoría de grupos, anillos, campos o conjuntos del álgebra abstracta. Ahora, después de la abstracción, ¿cuál es el beneficio?
Un posible beneficio que podría imaginar es que podría pasar por alto alguna restricción en el álgebra o la teoría de conjuntos. por ejemplo, la teoría de conjuntos habla de "conjunto", ¿tal vez la teoría de categorías puede hablar de "clase"? o, el álgebra habla de "grupo", esto se basa nuevamente en el conjunto, por lo que la teoría de categorías puede hablar de "categorías similares a grupos"? entonces, ¿quizás algunos resultados en teoría de conjuntos o álgebra puedan generalizarse? por ejemplo el álgebra habla de grupos, diciendo que a la izquierda y derecho es lo mismo, y el inverso izquierdo y derecho inverso de un elemento también es lo mismo, ¿tal vez esto podría generalizarse en la teoría de categorías?
De todos modos, ¿podría dar algunos ejemplos de resultados útiles de Teoría de categorías (teoremas o enfoques) que podrían usarse en otros campos matemáticos más "concretos"?
La teoría de categorías es absolutamente esencial para la geometría algebraica moderna y la teoría de números. En geometría algebraica, los grupos de cohomología de espacios se definen (principalmente) utilizando la maquinaria del álgebra homológica y los funtores derivados. Todo esto depende en gran medida de la teoría de categorías.
La teoría de la cohomología étale de Artin-Grothendieck es uno de los mayores logros de la geometría algebraica moderna. Esta teoría jugó un papel clave en la demostración de las Conjeturas de Weil, que son muy concretas (en lo que respecta a la teoría de números) y muy importantes. Nada de esto hubiera sido posible sin la teoría de categorías. No solo ayuda a formalizar la teoría: juega un papel central y esencial en todas las construcciones.
En última instancia, incluso la demostración del último teorema de Fermat ha dependido indirecta pero esencialmente de muchas ideas de la teoría de categorías.
También conozco muy poca teoría de categorías, pero encontré que la noción de una propiedad universal es particularmente útil. A menudo, hay varias formas de construir tipos importantes de objetos en matemáticas, por ejemplo, bases de espacios vectoriales, espacios de cocientes, productos de tensores, etc. Para mí, no siempre quedó claro a partir de la construcción qué es exactamente lo que estamos tratando de construir. Las propiedades universales a menudo aclaran esto básicamente al extraer exactamente lo que es tan especial acerca de un objeto, por lo tanto, motivan construcciones y aclaran muchas pruebas.
En un nivel más abstracto, cosas como los funtores en cierto sentido capturan la noción de "preservación de la estructura", como dispositivos que convierten diagramas conmutativos de una categoría a otra.
Olivier Bégassat
Yuan Qiaochu
athos
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