¿Motivación matemática de OPE?

En primer lugar, me gustaría recomendar Teoría de campos conformes de Di-Francesco, es un texto completo que es completo y contiene muchas aplicaciones de la teoría de campos conformes. El texto es indispensable.

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En la teoría de campos conformes, a menudo es característico de las funciones de correlación divergir cuando coinciden puntos de dos o más campos. La expansión del producto del operador es esencialmente una serie de Laurent, y representa una serie de operadores (siempre entendidos como funciones de correlación) como la suma de operadores bien definidos, por un factor que diverge cuando los puntos coinciden. Recordar bajo un mapa conforme$z\to w(z), \bar z \to \bar w(\bar z)$, un campo cuasi-primario se transforma como,

$$\phi'(w,\bar w) = \left( \frac{\partial w}{\partial z} \right)^{-h}\left( \frac{\partial \bar w}{\partial \bar z} \right)^{-\bar h} \phi(z,\bar z)$$

dónde$(h,\bar h)$son las dimensiones conformes. La dimensión de escala del campo es$\Delta = h+\bar h$y giro plano$s = h - \bar h$. Un ejemplo de expansión de producto de un operador sería,

$$T(z) \phi(w,\bar w) \sim \frac{h}{(z-w)^2} \phi(w,\bar w) + \frac{1}{z-w} \partial_w \phi(w,\bar w) + \dots$$

con tensor esfuerzo-energía$T(z)$donde es práctica común omitir términos no singulares como$z\to w$. Este OPE de hecho define un operador principal. La OPE también nos puede decir otras cosas. Considere un bosón libre,

$$\mathcal{S} = \frac{1}{2}g\int d^2x \, \partial_\mu \varphi \partial^\mu \varphi$$

donde el propagador viene dado por,

$$\langle \varphi(x) \varphi(y)\rangle = -\frac{1}{4\pi g} \ln(x-y)^2$$

que en coordenadas complejas es,

$$\langle \varphi(z,\bar z)\varphi(w,\bar w)\rangle = -\frac{1}{4\pi g} \left[ \ln(z-w) + \ln(\bar z - \bar w)\right]$$

Al diferenciar podemos separar las partes holomorfas y anti-holomórficas:

$$\langle \partial_z \varphi(z,\bar z) \partial_w \varphi(w,\bar w) \rangle = -\frac{1}{4\pi g} \frac{1}{(z-w)^2}$$

y de manera similar con$(z \leftrightarrow \bar z)$, etc. El OPE del campo consigo mismo es entonces,

$$\partial \varphi(z) \partial \varphi(w) \sim -\frac{1}{4\pi g} \frac{1}{(z-w)^2}$$

Aviso como$z\to w$, es decir, si intercambiamos campos, el OPE no cambia de signo; esto refleja el carácter bosónico de$\varphi$. Un cálculo similar para un campo de fermiones revela que el OPE consigo mismo es,

$$\psi(z) \psi(w) \sim \frac{1}{2\pi g}\frac{1}{z-w}$$

intercambiar$z$y$w$recoge un signo menos que refleja el carácter anticonmutador o fermiónico del campo$\psi$.

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Como se mencionó anteriormente, el OPE se puede considerar como una serie de Laurent, lo que significa que podemos calcular residuos a partir de él. No pasaré por toda la derivación, pero el componente homomórfico$J_z$de la corriente conservada$J_a$bajo transformaciones conformes tiene un OPE,

$$J_z(z)\mathcal{O}(w,\bar w)= \dots + \frac{\mathrm{Res}[J_z(z)\mathcal{O}(w,\bar w)]}{z-w} + \dots$$

para un operador genérico$\mathcal{O}$. Es similar a cuando uno trata de calcular residuos calculando la expansión de Laurent de una función, en lugar de hacerlo a través de la tediosa fórmula del límite. por ejemplo, para$\sin z / z$, tenemos,

$$\frac{\sin z}{z} = \frac{1}{z} \left( z-\frac{1}{3!} z^3 + \dots\right) = 1 -\frac{1}{3!} z^2 + \dots$$

los$z=0$polo es un polo simple, y de la expansión de Laurent, podemos concluir que el residuo es cero. Un segundo ejemplo:

$$\frac{e^z}{\sin z} = \frac{1}{z} + 1 + \frac{2z}{3} + \frac{z^2}{3} + \dots$$

El polo$z=0$es igualmente simple, y esta vez el residuo es uno.