Definiciones del Operador Ordenante Normal en CFT y QFT

Question

Definiciones del Operador Ordenante Normal en CFT y QFT

Benjamín Horowitz

Recuerde que el orden normal de los operadores bosónicos en QFT se define mediante una reorganización de los operadores para colocar los operadores de creación a la izquierda de los operadores de aniquilación en el producto. Esto está diseñado para evitar aniquilar accidentalmente $|0\rangle$ al observar un valor esperado en relación con el estado de vacío.

: {\hat{b}}^{†} \hat{b} : = {\hat{b}}^{†} \hat{b} : \hat{b} {\hat{b}}^{†} : = {\hat{b}}^{†} \hat{b}

$: \hat{b}^\dagger\hat{b} : \: =\: \hat{b}^\dagger\hat{b} \\ : \hat{b}\hat{b}^\dagger: \: = \: \hat{b}^\dagger\hat{b}$

En CFT, he visto definido el pedido normal de los operadores como el campo de base cero de la expansión de Laurent del producto de pedido radial.

R (a (z) b (w)) = \sum_{norte = - {norte}_{0}}^{\infty} (z - w)^{norte} {PAG}_{norte} (w),

$\mathcal{R}(a(z)b(w)) = \sum_{n = -n_0}^\infty (z-w)^n P_n(w),$

y seleccione

{PAG}_{0} (w) = : a (w) b (w) :

$P_0(w) = \: : a(w)b(w) :$

¿Existe una equivalencia entre estas dos definiciones? ¿Cuál es el análogo CFT de no aniquilar el vacío? ¿Cómo demostramos que esta definición tiene esa propiedad?

david z

Huh, interesante, el segundo es algo que no he visto (creo).

Motl de Luboš

El ordenamiento radial, como lo definiste, es claramente algo más general cuyo

P_{0}

$P_0$ parte incluye el pedido normal como herramienta. Entonces, la equivalencia sobre la que pregunta es como la equivalencia entre los Estados Unidos y Nueva Jersey. La parte ordenada normal de Nueva Jersey es equivalente, pero el resto no lo es. En general, la ordenación radial es conformemente equivalente a la ordenación temporal, pero la ordenación temporal y la ordenación normal son cosas bastante diferentes, aunque tienen algunas analogías matemáticas.

Tengen

Si el OPE de dos campos contiene solo un término singular con coeficiente constante, como en el caso de los campos libres, entonces la resta del valor esperado de vacío (su primera definición) puede servir como el procedimiento de regularización correcto. Si el OPE es más complicado, como el producto de dos tensores de energía-momentum, uno debe restar todos los términos singulares como su segunda definición.

Respuestas (1)

Definiciones del Operador Ordenante Normal en CFT y QFT

Huh, interesante, el segundo es algo que no he visto (creo).
El ordenamiento radial, como lo definiste, es claramente algo más general cuyo $P_0$ parte incluye el pedido normal como herramienta. Entonces, la equivalencia sobre la que pregunta es como la equivalencia entre los Estados Unidos y Nueva Jersey. La parte ordenada normal de Nueva Jersey es equivalente, pero el resto no lo es. En general, la ordenación radial es conformemente equivalente a la ordenación temporal, pero la ordenación temporal y la ordenación normal son cosas bastante diferentes, aunque tienen algunas analogías matemáticas.
Si el OPE de dos campos contiene solo un término singular con coeficiente constante, como en el caso de los campos libres, entonces la resta del valor esperado de vacío (su primera definición) puede servir como el procedimiento de regularización correcto. Si el OPE es más complicado, como el producto de dos tensores de energía-momentum, uno debe restar todos los términos singulares como su segunda definición.

Kevin De Notariis · Answer 1

En la teoría de los campos cuánticos, para los campos que no interactúan, el orden normal se puede definir requiriendo que el producto de los dos campos no tenga la parte singular. Dado que para los campos que no interactúan, la parte singular no es más que el valor de expectativa de vacío (y es solo 1 término), es suficiente escribir:

: ϕ^{2} : = ϕ^{2} - ⟨ ϕ ϕ ⟩

$:\phi^2:\,\,\,=\phi^2-\langle\phi\phi\rangle$

En CFT no podemos simplemente hacer eso. Tome el tensor de impulso de energía. Se sabe que su OPE es:

T (z) T (w) = \frac{C / 2}{(z - w)^{4}} + \frac{2 T (w)}{(z - w)^{2}} + \frac{\partial T (w)}{(z - w)} + r mi gramo tu yo a r t mi r metro s

$T(z)T(w)=\frac{c/2}{(z-w)^4}+\frac{2T(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial T(w)}{(z-w)}+regular\,terms$ si tratamos de sacar

⟨ T (z) T (w) ⟩

$\langle T(z)T(w)\rangle$ , obtenemos:

T (z) T (w) - ⟨ T (z) T (w) ⟩ = \frac{2 T (w)}{(z - w)^{2}} + \frac{\partial T (w)}{(z - w)} + r mi gramo tu yo a r t mi r metro s

$T(z)T(w)-\langle T(z)T(w)\rangle=\frac{2T(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial T(w)}{(z-w)}+regular\,terms$ que sigue siendo singular.

Luego, en lugar de restar solo el VAV, se eliminan todos los términos no singulares. Si tenemos dos operadores con la siguiente OPE:

A (z) B (w) = \sum_{norte - \infty}^{norte} \frac{{A B}_{norte} (w)}{(z - w)^{norte}}

$A(z)B(w)=\sum_{n-\infty}^N \frac{\{AB\}_n(w)}{(z-w)^n}$ con

N

$N$ enteros positivos (lo que significa que el número de partes singulares puede ser finito) y

{A B}_{n} (w)

$\{AB\}_n(w)$ los campos resultantes de la expansión. Entonces definimos el producto ordenado normal como:

(A B) (w) := {A B}_{0} (w)

$(AB)(w):=\{AB\}_0(w)$ De hecho, podemos definir la Contracción como:

C (A (z) B (w)) := \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{{A B}_{norte} (w)}{(z - w)^{norte}}

$C(A(z)B(w)):=\sum_{n=1}^{N}\frac{\{AB\}_n(w)}{(z-w)^n}$ Y luego el producto ordenado normal es solo:

(A B) (w) = \underset{z \to w}{límite} [A (z) B (w) - C (A (z) B (w))]

$(AB)(w)=\lim_{z\to w}[A(z)B(w)-C(A(z)B(w))]$ ya que todos los términos

{A B}_{n} (z - w)^{n}

$\{AB\}_n(z-w)^n$ con

n > 0

$n>0$ va a cero como

z \to w

$z\to w$ .

En este contexto, podemos dar una representación integral de este producto ordenado normal como:

(A B) (z) = \oint_{z} \frac{d w}{2 π i} \frac{A (w) B (z)}{w - z}

$(AB)(z)=\oint_z\frac{dw}{2\pi i}\frac{A(w)B(z)}{w-z}$ donde la integral de contorno contiene el punto

z

$z$ .

Es solo para el cuadrado que el orden normal de campo libre involucra solo un término. Por ejemplo $:\phi^4:=\phi^4-6\langle\phi^2\rangle\phi^2+3\langle\phi^2\rangle^2$ . En general, la expresión es un polinomio de Hermite. Es cierto, sin embargo, que la OPE, incluso en el caso libre, es la que rige el correcto ordenamiento normal.
Sí, escribí "el producto de dos campos", y en la siguiente oración estaba implícito que me refería solo a dos de ellos. Lo siento si no estaba claro.

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Benjamín Horowitz

david z

Motl de Luboš

Tengen

Respuestas (1)

Kevin De Notariis

Abdelmalek Abdesselam

Kevin De Notariis

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