En un fluido, ¿por qué los esfuerzos cortantes τxyτxy\tau_{xy} y τyxτyx\tau_{yx} son iguales?

Question

En un fluido, ¿por qué los esfuerzos cortantes τxyτxy\tau_{xy} y τyxτyx\tau_{yx} son iguales?

Física
simetría
dinámica de fluidos
tensión-energía-momentum-tensor

MaxD

En cuerpos sólidos, $\tau_{xy}=\tau_{yx}$ tiene sentido para mí porque los elementos de volumen "se mantienen unidos" y no pueden girar uno contra el otro y, por lo tanto, el par resultante de los esfuerzos cortantes debe ser cero.

Sin embargo, en los fluidos me imagino que los elementos de volumen pueden girar unos contra otros, y me sorprendió mucho cuando aprendí en mi clase de mecánica de fluidos que $\tau_{xy}=\tau_{yx}$ También sirve para líquidos.

Me doy cuenta de que en este caso un par resultante conduciría a una aceleración de la velocidad de rotación de los elementos de volumen, pero no puedo ver nada que lo impida.

^{Busqué en Google sin éxito mucho sobre este tema. También le pregunté a mi profesor y a varios asistentes, pero ninguno de ellos pudo darme una explicación satisfactoria. Por lo tanto, supongo que mi pregunta realmente no tiene sentido de esta manera y/o se basa en una falta de comprensión muy básica.}

Respuestas (2)

En un fluido, ¿por qué los esfuerzos cortantes τxyτxy\tau_{xy} y τyxτyx\tau_{yx} son iguales?

Tomás · Answer 1

Esto se sigue de la invariancia rotacional. Si el tensor de tensión no es simétrico, el momento angular del fluido no se conserva. Más explícitamente, la conservación del impulso es la ecuación

\frac{\partial}{\partial t} π_{i} + \nabla_{j} τ_{i j} = 0

$\frac{\partial}{\partial t}\pi_i + \nabla_j\tau_{ij} = 0$ dónde

π_{i} = ρ v_{i}

$\pi_i=\rho v_i$ es la densidad de momento. La densidad del momento angular (sobre el origen) es

l_{i} = ϵ_{i j k} x_{j} π_{k}

$l_i=\epsilon_{ijk}x_j\pi_k$ y

l_{i}

$l_i$ se conserva si

ϵ_{i j k} τ_{j k} = 0

$\epsilon_{ijk}\tau_{jk}=0$ (es decir, si

τ_{i j}

$\tau_{ij}$ es simétrica). Obtenemos

\frac{\partial}{\partial t} {yo}_{i} + \nabla_{j} {metro}_{i j} = 0

$\frac{\partial}{\partial t}l_i + \nabla_j m_{ij} = 0$ dónde

m_{i j} = ϵ_{i k l} x_{k} τ_{l j}

$m_{ij}=\epsilon_{ikl}x_k\tau_{lj}$ es el flujo de momento angular.

Por supuesto, el momento angular del fluido puede cambiar debido a torsiones externas, y el momento angular de una celda de fluido puede cambiar debido a tensiones superficiales. (Es decir, puedo integrar la ley de conservación sobre un volumen dentro del fluido, y el momento angular del volumen del fluido cambia debido a los pares superficiales. Por supuesto, el momento angular total del fluido se conserva).

Todo esto se aplica a cualquier fluido descrito por un hamiltoniano rotacionalmente invariante, es decir, cualquier fluido hecho de átomos, electrones, quarks, gluones, etc.

Surge una pregunta interesante si la invariancia rotacional se rompe espontáneamente, por ejemplo en el caso de un cristal líquido. En ese caso, el momento angular todavía se conserva y el tensor de tensión es simétrico, pero la descripción hidrodinámica del fluido (y el tensor de tensión en sí) depende de un campo vectorial adicional. $n_i$ , que surge del parámetro order.

Como digo en el último párrafo de mi pregunta: ¿Por qué se tiene que conservar el momento angular? En otras palabras, si inserto energía en el sistema, ¿no puede aumentar el momento angular proporcionalmente?

dat · Answer 2

Me he encontrado con la misma pregunta con exactamente el mismo pensamiento. Pero encontré una manera de explicar. Considere un elemento fluido:

El punto más importante aquí es que $\tau_{xy}=\tau_{yx}$ se mantiene solo cuando el tamaño de los elementos fluidos se acerca a cero, o su masa se acerca a cero, o dx = dy = dz = a (a es la longitud de un tamaño del cubo, a se acerca a cero).

Así que veamos cómo $\tau_{xy}$ y $\tau_{yx}$ son cuando a tiende a cero: la idea aquí es que incluso cuando el tamaño o la masa del elemento fluido se acerque a cero, su aceleración angular debe ser un valor finito . Así que intentaremos calcular la aceleración angular del elemento fluido cuando su tamaño se acerque a cero.

Considere la aceleración angular para el eje z (aacz):

a C C z = \underset{a \to 0}{límite} \frac{τ_{y X} a^{2} (a / 2) - τ_{X y} a^{2} (a / 2)}{\frac{1}{6} (ρ a^{3}) a^{2}}

$accz = \lim_{a\to0}{\frac{\tau_{yx}a^2(a/2)-\tau_{xy}a^2(a/2)}{\frac{1}{6}(\rho a^3) a^2}}$ donde el numerador es simplemente el tourque aplicado (

a^{2}

$a^2$ es el área de una cara, a/2 es la distancia de las fuerzas al eje z), el denominador es el momento de inercia del elemento fluido (

ρ a^{3}

$\rho a^3$ es la masa). Debido a que a se acerca a cero, por lo que es seguro usar estos términos y fórmulas simples, podemos suponer que el eje z también pasa por el centro del cubo. Continúe calculando:

a C C z = \underset{a \to 0}{límite} \frac{3 (τ_{y X} - τ_{X y})}{ρ a^{2}}

$accz = \lim_{a\to0}{\frac{3(\tau_{yx}-\tau_{xy})}{\rho a^2}}$ Vemos que cuando un

\to

$\to$ 0, todavía tenemos

ρ \to

$\rho \to$ valor finito. Así que si

τ_{y x} \neq τ_{x y}

$\tau_{yx} \neq \tau_{xy}$ , accz iría al infinito. Entonces debemos tener

τ_{y x} = τ_{x y}

$\tau_{yx} = \tau_{xy}$ para elemento fluido infinitesimalmente pequeño

En un fluido, ¿por qué los esfuerzos cortantes τxyτxy\tau_{xy} y τyxτyx\tau_{yx} son iguales?

MaxD

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MaxD

Tomás

Maní Loco de Waffle

dat

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