Monopolo magnético y potencial vectorial

¿Alguien sabe cómo probar (de una manera simple si es posible) que es imposible definir un potencial de vector magnético definido globalmente de un solo valor? A → en el múltiple METRO = R 3 ∖ { 0 } para un monopolo magnético estático colocado en el origen?

Hipótesis: B → = gramo r → / ( 4 π r 3 )

De hecho, Wu-Yang demostró que se pueden definir 2 potenciales en diferentes regiones del espacio para un campo de este tipo que están vinculados entre sí por una transformación de calibre. Pero fuera de este contexto definitivamente quise decir global. Pero, aún así, tal vez no estoy entendiendo algo.
Hasta ahora no puedo ver ninguna razón para no ser definido globalmente...
De hecho, aquí se dice: " Debido a que la divergencia de B es igual a cero en casi todas partes, excepto en el lugar geométrico del monopolo magnético en r = 0, uno puede definir localmente el vector potencial tal que el rotacional del vector potencial A es igual el campo magnético B. Sin embargo, el vector potencial no se puede definir globalmente precisamente porque la divergencia del campo magnético es proporcional a la función delta de Dirac en el origen ".
Intente leer el libro 'Geometry, Topology and Gauge Fields: Foundations', el autor (Naber) tiene esta discusión justo en el capítulo introductorio y señala cómo la imposibilidad de definir un vector potencial adecuado en R 3 − 0 está relacionado con su topología (el segundo grupo de homotopía no es trivial), y también cómo los monopolos de dirac clásicos surgen de esto. Obs: su hipótesis tiene una integral de flujo distinta de cero, al igual que la solución equivalente para el campo de carga puntual eléctrica
Gracias, voy a echar un vistazo! Es exactamente por eso que necesito esto... ¡Para entender por qué Dirac necesitaba introducir la cuerda!
¡Si perfecto! ¡Finalmente entendí! Lo único que me desconcierta es "ahora, ∇ ⋅ B = 0 es sin duda una condición necesaria para la existencia de un potencial vectorial (la divergencia de un rotacional es cero), pero no es suficiente ni siquiera en una región simplemente conectada". ¡Pero creo que tengo que revisar mi cálculo vectorial!
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/607264/2451 y enlaces allí.

Respuestas (3)

Buscas un formulario 1 A en R − { 0 } tal que d A = B . en todos R − { 0 } , d B = 0 , por lo que esto podría existir. Pero, dado que tiene flujo magnético, requiere que la integral de B sobre cualquier 2-esfera alrededor del origen debe ser gramo . Por lo tanto, por el teorema de Stokes,

gramo = ∫ S 2 B = ∫ S 2 d A = ∫ ∂ S 2 A = ∫ ∅ A = 0

lo cual es una contradicción para gramo ≠ 0 . Por lo tanto, tal A no puede existir

Esta es una reformulación más formal de la respuesta de Holographer .

El flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada que encierra el origen es simplemente gramo (la carga magnética encerrada). Si el campo magnético proviene de un potencial vectorial B → = ∇ × A → , esta integral de superficie por el teorema de Stokes es una integral de A → alrededor del límite de la superficie. Pero la superficie es cerrada, por lo que no tiene límite, por lo que la respuesta debe desaparecer. Esto es una contradicción si gramo es distinto de cero, por lo que no hay tal A → existe

(Esto tiene una interpretación más sofisticada en el lenguaje de las formas diferenciales y la cohomología de De Rham, ¡pero eso no es realmente necesario aquí!)

Sí, es más o menos lo que hacen en "Geometría, topología y campos de calibre: fundamentos". Gracias.

user23873 respondió mi pregunta en los comentarios. Cito: "Intente leer el libro 'Geometry, Topology and Gauge Fields: Foundations', el autor (Naber) tiene esta discusión justo en el capítulo introductorio y señala cómo la imposibilidad de definir un vector potencial adecuado en ℝ3−0 está vinculada con su topología (el segundo grupo de homotopía no es trivial), y también cómo los monopolos de dirac clásicos surgen de esto. Obs: su hipótesis tiene una integral de flujo distinta de cero, al igual que la solución equivalente para el campo de carga puntual eléctrica.

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