Cómo derivar ∫Σδ(∗F)∧δA=∫ΣdΣμδFμν∧δAν∫Σδ(∗F)∧δA=∫ΣdΣμδFμν∧δAν\int_{\Sigma}\delta(*F)\wedge\delta A =\int_{ \Sigma}d\Sigma^{\mu}\delta F_{\mu\nu}\wedge\delta A^{\nu} gratis EM? [duplicar]

Abordemos aquí solo la última parte conceptual de la pregunta de OP (v4).

Sea dada una variedad lorentziana orientable de 4 dimensiones $(M,\mathbb{g})$con pseudovolumen canónico$^1$forma

$$\Omega~:=~\sqrt{|g|}\mathrm{d}x^{0}\wedge \mathrm{d}x^{1}\wedge\mathrm{d}x^{2}\wedge\mathrm{d}x^{3}~\in~\Gamma(\bigwedge \! {}^4(T^{\ast}M)), \qquad g~:=~\det(g_{\mu\nu}). \tag{A}$$ [Nótese que este Omega no tiene nada que ver con la forma simpléctica en las ecs. (1) y (2)] La cuantización hamiltoniana en la teoría de campos generalmente se basa en la elección de un campo vectorial $X\in \Gamma(TM)$que representa el flujo de un parámetro de evolución, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Para un campo vectorial similar al tiempo, siempre podemos normalizarlo, si así lo deseamos; pero si es similar a la luz, no hay elección canónica de $X$.

A continuación elegimos una superficie de Cauchy $\Sigma\subset M$de codimensión 1, es decir, una hipersuperficie, tal que

$$T^{\ast}_p\Sigma~=~{\rm Ker}(X_p), \qquad p~\in~\Sigma.\tag{B}$$ Aquí hemos identificado el vector $$X_p: T^{\ast}_pM~\to~ \mathbb{R}\tag{C}$$ con un funcional en el espacio cotangente $T^{\ast}_pM$. Entonces podemos definir una forma de pseudovolumen $\omega \in \Gamma(\bigwedge\! {}^3(T^{\ast}\Sigma))$en la superficie de Cauchy $\Sigma$a través de una contracción $$\omega_p~:=~i_{X_p}\Omega_p, \qquad p~\in~\Sigma.\tag{D}$$

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$^1$Una forma de pseudovolumen se transforma como

$$\Omega^{\prime} ~=~{\rm sgn }(J)~\Omega, \qquad J~:=~\det(\frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}}), \tag{E}$$ bajo transformaciones de coordenadas generales $x^{\mu} \to x^{\prime \nu}=f^{\nu}(x)$.