¿El monopolo magnético viola la simetría de calibre U(1)U(1)U(1)?

No, un monopolo magnético a la cuerda de Dirac no "viola" la simetría de calibre. Más bien, la afirmación "tenemos un monopolo magnético" solo significa que estamos obligados a considerar la teoría de calibre no en todo el espacio-tiempo, sino en el espacio-tiempo sin la ubicación del monopolo magnético. ¿Por qué? Porque, en la ubicación del monopolo magnético, la divergencia del campo magnético no desaparece (¡tiene una fuente/sumidero allí!), y de ahí la ecuación que nos permite definir el campo de norma, a saber$\mathrm{d}F = 0$, no se cumple.

Sin embargo, es válido en cualquier otro lugar, por lo que consideramos la teoría de calibre en el espacio con un solo punto eliminado. Pero$\mathbb{R}^3 - \{0\}$es homotópicamente equivalente a la esfera$S^2$, que es topológicamente no trivial - no se puede contraer la esfera o$\mathbb{R}^3-\{0\}$sin problemas hasta cierto punto porque el monopolo está "en el camino". Esto no es un verdadero defecto en el espacio-tiempo, sino simplemente una consecuencia de que "rescatamos" la descripción de calibre aunque el monopolo nos prohíba hacerlo globalmente. Es un defecto en la teoría de gauge .

La descripción local en la esfera.$S^2$se logra más fácilmente simplemente tomando dos campos de calibre locales que se definen en el hemisferio que se superponen en el ecuador, y obtenemos una solución globalmente consistente de definimos una transformación de calibre en la superposición que une las soluciones locales ¹ , que es solo un circulo -$\mathrm{U}(1)$otra vez. Entonces, debemos dar un mapa suave$\mathrm{U}(1)\to\mathrm{U}(1)$del círculo a sí mismo. Dichos mapas solo se dan enrollando el círculo.$n$veces alrededor de sí mismo, si escribes$\mathrm{U}(1) = \{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi} \vert \phi\in[0,2\pi)\}$, entonces la función de transición es$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\mapsto\mathrm{e}^{n\mathrm{i}\phi}$. Esta función de transición caracteriza completamente el paquete, por lo que ahora hay$\mathbb{Z}$diferentes estructuras de paquetes que pueden ocurrir. los$n\in\mathbb{Z}$simplemente caracteriza al monopolo como si tuviera carga magnética$\frac{2\pi}{e}n$.

Ahora, la "cadena de Dirac" es simplemente un artefacto que ocurre si tratamos de forzar una solución global a partir de las locales. Si tomas la solución en uno de los hemisferios y la extiendes tanto como puedas, encontrarás que puedes extenderla a todas partes menos al polo opuesto. Si "volvemos a transformarnos" la esfera en$\mathbb{R}^3-\{0\}$, luego el polo (como todos los puntos) se transforma en un rayo que comienza en la ubicación del monopolo. En este rayo que corresponde al polo, la solución no está definida, es la famosa cuerda de Dirac. Pero recuerde que teníamos otra solución local: si los pegamos de nuevo (o cambiamos entre ellos según sea necesario), obtenemos una descripción de la totalidad de$\mathbb{R}^3 - \{0\}$, y la cadena de Dirac desaparece. La cuantización como$\frac{2\pi}{e}$porque la carga magnética surge del requisito de que este artefacto debe ser indetectable en las soluciones locales y, por lo tanto, no se permite que cause una consecuencia física, y solo para estas cargas magnéticas, el efecto Aharonov-Bohm de tal rayo desaparece.

El pegado de las soluciones locales es en efecto una construcción del haz principal sin que digamos explícitamente lo que se conoce como construcción de un haz por cociclos . Si tenemos una solución global , entonces no necesitamos pegamento, y elegimos$n = 0$, que corresponde al paquete trivial, y no al monopolo magnético, ya que la solución es entonces, en principio, extensible a todos los$\mathbb{R}^3$y armamos un alboroto por nada.

^{1 Técnicamente, el encolado funciona así: tome la transformación del encolado$\chi : S^1 \to \mathrm{U}(1)$y las dos soluciones locales$A_1,A_2$y establecer$A_2 = A_1 + \mathrm{d}\chi$. O más bien, mire sus soluciones locales y encuentre$\chi$tal que esto funcione.}