Momentum como Generador de Traducciones

En la representación de la posición, los elementos de la matriz (función de onda) de un estado propio de cantidad de movimiento son

$$\langle x | p\rangle = \psi_p(x) = e^{ipx}$$ La función de onda desplazada por una traslación finita constante $a$es $$\psi(x+a)$$ Ahora el operador de cantidad de movimiento es lo que, actuando sobre los estados propios de cantidad de movimiento, devuelve el valor de la cantidad de movimiento en estos estados, esto es claramente $-i\frac{d}{dx}$.

Para nuestro estado propio de impulso, si lo cambio espacialmente en una cantidad infinitesimal$\epsilon$, se vuelve

$$\psi(x+\epsilon) = e^{ip(x+\epsilon)} = e^{ip\epsilon}e^{ipx} = (1+i\epsilon p + ...)e^{ipx}$$ es decir, el cambio lo modifica por una expansión en su valor de impulso. Pero si Taylor se expande $\psi(x+\epsilon)$, Yo obtengo $$\psi(x+\epsilon)= \psi(x)+\epsilon \frac{d}{dx} \psi(x)+... = \psi(x)+i\epsilon(-i\frac{d}{dx})\psi(x)+...$$ Entonces esto es consistente ya que el operador de desplazamiento espacial infinitesimal $-i\frac{d}{dx}$es precisamente el operador el que está extrayendo el valor propio del impulso.