Momento de una fuerza sobre un eje dado (Torque) - ¿Escalar o vectorial?

Torque (Fuerza Momento) es un vector que describe la ubicación de la línea de acción de la Fuerza.

• Lema: Si me das un vector de fuerza${\vec F}$y un vector de momento sobre el origen${\vec M}$entonces puedo definir una línea cuyos puntos obedecen a la relación$\vec{M} = {\vec r} \times {\vec F}$. Esta línea tiene dirección paralela a la fuerza.${\vec F}$y pasa por un punto (el más cercano al origen) definido por $${\vec r} = \frac{ {\vec F} \times {\vec M} }{ \| {\vec F} \|^2 }$$

Prueba : Uso$\vec{M} = {\vec r} \times {\vec F}$en la ecuación del punto.

$$\require{cancel} \frac{ {\vec F} \times {\vec M} }{ \| {\vec F} \|^2 } = \frac{ {\vec F} \times ({\vec r} \times {\vec F}) }{ \| {\vec F} \|^2 } = \frac{ \vec{r} ( \vec{F} \cdot \vec{F}) - \vec{F} (\cancel{\vec{F} \cdot \vec{r}} ) }{ \| {\vec F} \|^2 } = \vec{r} \frac{\| {\vec F} \|^2}{\| {\vec F} \|^2} = \vec{r}$$

Esto requiere que$\vec{F} \cdot \vec{r}=0$lo cual es cierto para el punto de la recta más cercano al origen.

Es cierto tanto para la estática como para la dinámica que un momento es solo una fuerza a distancia . Solo cuando la fuerza neta es cero (par de fuerzas), el momento es un momento puro y no transmite ninguna información de ubicación.

Obviamente es un vector, como puedes ver en la segunda fórmula.

Lo que estás haciendo en el primero es obtener el$x$-componente de ese vector. Recuerda que el producto escalar es la proyección de un vector sobre la dirección del otro. En realidad deberías escribir$\hat{x}$o$\vec{i}$o$\hat{i}$para indicar que es un vector unitario. Eso es porque un vector unitario satisface

$\vec{v}\cdot\hat{u}=|v| \cdot |1|\cdot \cos(\alpha)=v \cos(\alpha)$

y así es la proyección del vector mismo.

En conclusión, el momento es un vector, y la primera fórmula solo captura uno de sus componentes, como lo indica el subíndice.

Hay algunas aplicaciones en las que podríamos querer cuantificar tanto el par, que es un vector, como el componente del par alrededor de un eje particular, que es un escalar.

Ilustro un ejemplo de esto en la figura a continuación, que es de 1 y se proporciona aquí como uso justo con fines académicos. La puerta está articulada de modo que gira solo alrededor de la$\mathbf{\widehat{k}}$eje. Mientras tanto, la perilla de la puerta se encuentra en una posición$\mathbf{r}$en relación con el origen. Una fuerza$\mathbf{F}$se aplica a la perilla de la puerta.

Por$\boldsymbol{\tau}$, denoto el torque en la perilla de la puerta, que es

$$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}.$$ Por$\tau_z$, denoto la componente escalar del vector de par sobre el eje de rotación. Entonces, $$\tau_z = \mathbf{\widehat{k}} \cdot \boldsymbol{\tau} = \left(\mathbf{r}\times \mathbf{F}\right)\cdot \mathbf{\widehat{k}}.$$

Bibliografía

1 Métodos matemáticos en las ciencias físicas, 3.ª edición, Mary L. Boas, ISBN: 978-0-471-19826-0 julio de 2005.