¿Por qué el par apunta perpendicular a la dirección del movimiento?

Para agregar a la respuesta de Steeven y, en particular, a su declaración muy pertinente:

No puedes definir la dirección de un vector como algo que gira.

Puede que te ayude a entender que el par como vector en realidad es un poco engañoso: es una "simplificación" que solo podemos lograr en dos y tres dimensiones, razón por la cual la "dirección" parece un poco abstracta. La dirección del "vector" de torque define el eje del movimiento que tiende a inducir, y por la misma razón que el torque como vector es un poco engañoso, incluso la noción de eje solo funciona en dos y tres dimensiones.

El torque tiene que ver con la rotación, y las rotaciones principalmente tienen que ver con las transformaciones que se limitan a los planos . Por ejemplo, una rotación sobre el$z$-axis es una transformación que agita el$x-y$avión - transforma el$x$y$y$coordenadas de las cosas - pero deja el$z$coordenadas sin cambios.

Cuando hacemos geometría de dimensiones superiores, las rotaciones cambian de plano y dejan más de una dimensión invariable. En una rotación de cuatro dimensiones, es incompleto hablar de una rotación sobre un eje, porque, por ejemplo, puedes tener una rotación que transforma la$x$y$y$coordenadas de puntos invariantes, pero deja el$z$y$w$coordinada invariante.

Entonces, en general, la forma más fácil de especificar una rotación es especificar el plano que cambia , en lugar de especificar el subespacio que deja invariable.

Da la casualidad de que en tres dimensiones, el subespacio que queda invariante es una línea o un "eje", por lo que los dos enfoques equivalen a lo mismo. Podemos definir un plano en tres dimensiones especificando un vector normal a él, por lo que podemos salirnos con la torsión o la velocidad angular como vector. En general estas cantidades son planos dirigidos, no líneas con dirección.

¿Cómo puede girar el perno en el sentido de las agujas del reloj si la fuerza se concentra perpendicularmente a donde debe girar?

Porque esa fuerza es perpendicular a la dirección hacia el centro de rotación . No a la dirección de giro. De hecho , el perno gira de la misma manera que la fuerza tira de él.

Cuando define una dirección de vector de par , tiene un problema. No puedes definir la dirección de un vector como algo que gira. La dirección debe ser a lo largo de una línea recta. Entonces, en lugar de elegir el "giro" del par, podríamos elegir el eje del par como la dirección del vector.

Echa un vistazo a esta imagen:

El eje es vertical a través del perno a lo largo de las dos flechas hacia arriba/hacia abajo. Si elige definir la dirección del vector de torsión a lo largo de este eje, todo encaja. Sólo tenemos que recordar esa elección.

El par es:

El vector de fuerza$\vec F$multiplicado por el vector hacia el centro de rotación$\vec r$da el vector de torsión. El resultado de un producto cruzado es matemáticamente un vector que apunta verticalmente hacia arriba , por lo que se ajusta perfectamente a esa elección. El vector de torsión$\vec \tau$que obtiene de este cálculo tiene la magnitud del par pero la dirección del eje del par .

Mientras recuerdes esta elección, esta definición, todo está bien. Cada vez que escuchas " la dirección del torque es horizontal ", sabes que este es solo el eje del torque; el par (el giro) es entonces vertical.

Considere la definición de torque$\vec{\tau}$debido a una fuerza$\vec{F}$pasando por un punto$\vec{r}$

Uso de la identidad de productos cruzados$\| \vec{A} \times \vec{B} \| = \| A \| \|B \| \sin \theta$dónde$\theta$es el ángulo formado por los dos vectores podemos escribir lo siguiente

En resumen, el producto vectorial elimina cualquier influencia de la ubicación de la fuerza a lo largo de la línea de acción y solo considera la distancia perpendicular para medir el par.

Apéndice

El par es el momento de la línea de acción de una fuerza. se define como$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$

La velocidad es el momento de la línea de rotación de un cuerpo rígido. se define como$\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}$

Ambas cantidades ($\vec{\tau}$y$\vec{v}$) contienen la información sobre la distancia (posición) a una línea en el espacio. Esto puede ser recuperado por

La dirección del vector de torsión es similar a la dirección del vector de velocidad en un cuerpo rígido giratorio. Es un vector circunferencial perpendicular tanto a la línea de acción como a la ubicación de la línea. El movimiento se explica mejor como la velocidad tangencial de un cuerpo giratorio extendido bajo el origen de coordenadas.

_{Consulte esta respuesta para obtener una explicación más detallada de la geometría en la mecánica.}

Creo que su pregunta se responde mejor con los experimentos con giroscopio. En primer lugar, el giroscopio que no gira, se apoya en ambos extremos. Luego se quita un soporte y el giroscopio "cae". Sin embargo, cuando este experimento se repite con el giroscopio girando, el giroscopio, en lugar de caer, ¡gira alrededor del extremo de soporte! Este movimiento es perpendicular tanto al vector de fuerza de gravedad como al vector de par. Esto prueba que el torque genera un vector que es perpendicular al plano de rotación.

¿Por qué el par apunta perpendicular a la dirección del movimiento?

Los físicos a menudo dicen que usan el pensamiento de primeros principios, pero para llegar a esos primeros principios, siempre usan observaciones del mundo real y crean ecuaciones para explicar la observación, pero a veces no pueden explicar la razón fundamental detrás de la observación que dio origen. a la ecuación. En el espacio tridimensional, hay dos vectores ortogonales posibles (vector de torsión en este ejemplo) en relación con otro plano (objeto giratorio en este ejemplo). El vector de torque podría estar potencialmente en cualquier dirección, por lo que es contrario a la intuición. Nuestro universo (por lo que los humanos observan desde la Tierra y el espacio exterior en nuestro sistema solar) usa la regla de agarre de la mano derecha para la dirección del vector de torsión. ¿Por qué? Simplemente es. Puede ser una coincidencia que tengamos otros fenómenos que usan esta regla de agarre de la mano derecha en el "T = r * sin(theta) * Fmirando la procesión de giro de un objeto giratorio. Simplemente estaba usando una analogía que observan en la Tierra con objetos giratorios. El primer video a continuación lo explica muy bien. La T es simplemente lo que miden el torque para la procesión de giros de cada efecto. Los físicos no han probado por qué el vector de torque apunta en la dirección del pulgar cuando se usa la regla de agarre de la mano derecha. Simplemente es. Simplemente muestran un valor con unidades basadas en las matemáticas. Vea el segundo video sobre cómo funciona la regla de agarre de la mano derecha. El video #3 muestra mucho más de las matemáticas.

Vídeo n.º 1:
https://www.youtube.com/watch?v=ty9QSiVC2g0

Vídeo n.º 2:
https://www.youtube.com/watch?v=fuTVnSFBhwk

Vídeo n.º 3
https://www.youtube.com/watch?v=XPUuF_dECVI

En este caso, dado que el seno de 60 grados es de aproximadamente 0,86, sería (0,86)(50) libras-pie. ¿Cómo puede girar el perno en el sentido de las agujas del reloj si la fuerza se concentra perpendicularmente a donde debe girar?

Esto es solo usar las matemáticas de la ecuación T = F * r * sin(theta)en la explicación anterior. Solo asegúrese de usar las unidades correctas (Newton metros) para el torque de la física cuando resuelva una ecuación. Mire aquí las unidades de conversión si usa libras por pie. https://en.wikipedia.org/wiki/Pound-foot_(torque) . Si el vector de fuerza y ​​el vector de par se aplican en la misma dirección que la regla de agarre de la mano derecha, obtienes un vector de par positivo, porque realmente hay una fuerza perpendicular (par). Si es en la dirección opuesta, obtienes un vector de torque negativo. Pero en realidad, las fuerzas están en ambas direcciones en física, ya que siempre tienes equilibrio con la Tercera Ley de Newton. Pero en matemáticas, necesitas mostrar cuál es positivo y cuál es negativo para que funcionen los primeros principios.

Datos interesantes con la regla de agarre de la mano derecha:

• (Ley del circuito de Ampère) Una corriente eléctrica pasa a través de un solenoide, lo que genera un campo magnético. Cuando envuelve la mano derecha alrededor del solenoide con los dedos en la dirección de la corriente convencional, el pulgar apunta en la dirección del polo norte magnético.
• (Ley del circuito de Ampère) Una corriente eléctrica pasa a través de un alambre recto. El pulgar apunta en la dirección de la corriente convencional (de positivo a negativo), y los dedos apuntan en la dirección de las líneas de flujo magnético.
• (Torque) El principio se utiliza para determinar la dirección del vector de par. Si sujeta el eje imaginario de rotación de la fuerza de rotación de manera que sus dedos apunten en la dirección de la fuerza, entonces el pulgar extendido apunta en la dirección del vector de torsión. Esto a menudo se conoce como precesión de espín.
• (Campo electromagnético) Al aplicar la regla a la corriente en un cable recto, por ejemplo, la dirección del campo magnético (hacia la izquierda en lugar de hacia la derecha cuando se ve desde la punta del pulgar) es el resultado de esta convención y no un fenómeno físico subyacente.