Expresar la magnitud del par usando el producto escalar

Quería saber si de alguna manera es posible expresar la magnitud del vector torque sobre algún eje usando algún producto punto de otros vectores en el sistema (la posición del objeto, el eje de rotación, la fuerza aplicada, el momento angular, etc. .).

Naturalmente, sé que el vector mismo se puede escribir como un producto cruzado. Pero si solo me importa la magnitud del par, ¿hay alguna forma en que pueda expresarlo solo usando el producto escalar? (Por supuesto, podría encontrar la magnitud del vector de torque después de tomar el producto vectorial, pero estoy buscando nuevas formas interesantes de expresarlo que puedan ser útiles para resolver problemas).

¡Muchas gracias!

Respuestas (1)

La cantidad importante es el brazo de momento. d de un vector de fuerza F . Esa es la distancia mínima entre la línea de acción de la fuerza y ​​el punto de medición del par. Esto le dará la magnitud del vector de torque

τ = ‖ τ ‖ = ‖ r × F | | = pecado ⁡ θ ‖ r ‖ ‖ F ‖ = d ‖ F ‖

Dónde r es la ubicación de la fuerza, F es el vector fuerza y θ es el ángulo entre estos dos vectores.

Para obtener d , puede aplicar trigonometría (como arriba), o si conoce la dirección mi y un punto r en la línea de acción de la fuerza, entonces cualquier punto en la línea de acción se describe por

pag = r + t   mi
y el punto más cercano al origen tiene t = − mi ⋅ r ‖ mi ‖ 2 . Tenga en cuenta que el brazo de momento es
d = ‖ pag ‖ = pag ⋅ pag = ( r ⋅ r ) + 2 ( r ⋅ mi ) t + ( mi ⋅ mi ) t 2

Utilizando el t valor desde arriba entonces

d = ( r ⋅ r ) − ( ( mi ⋅ r ) ( mi ⋅ mi ) ) 2

y

τ = d F

Nota: F = ‖ F ‖ es la magnitud de la fuerza.

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