¿Por qué el producto vectorial de dos vectores da un vector en una dirección ortogonal? [duplicar]

Entendí el concepto de producto cruzado con un ejemplo de Torque. Entendí el concepto. Pero lo que me confunde es cómo puede el producto cruzado de dos vectores ortogonales en un plano darnos el producto que está en otro eje. i × j =k, ¿cómo es eso posible?

Por ejemplo: - Esta es una ruleta.

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Supongamos que aplicamos una fuerza perpendicular y la multiplicamos por r para obtener el par (producto vectorial). La ruleta comienza a girar.

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Entonces, en esta imagen giratoria, ¿cómo hay un movimiento o un vector en la tercera dimensión (k^), como sugiere la teoría del producto vectorial?

¿Responde esto a tu pregunta? Significado de la dirección del par
No, no realmente, vi esta pregunta antes y realmente no responde la pregunta exacta. Las respuestas son realmente matemáticas avanzadas. Soy un estudiante de escuela, así que realmente no puedo entenderlo.
La tercera dimensión también es otra forma de decir que el nuevo valor es independiente (ortogonal) a los otros valores. Entonces, para el torque, multiplicamos lx F y obtenemos esta nueva propiedad (llamada torque) que no es fuerza ni longitud, sino que está relacionada con sus magnitudes.
Tenga en cuenta que no se trata solo de vectores ortogonales, sino que dos vectores no paralelos dan como resultado un producto cruzado fuera del plano.
¿Esta respuesta proporciona alguna idea? > por qué usar productos cruzados en física
¿Esta respuesta responde a tu pregunta? > ¿ Es el torque un concepto fundamental y la geometría de los productos cruzados en mi publicación?
@ ja72 Gracias, pero no, realmente no responde a mi pregunta. Aunque entiendo una parte de la respuesta de Michael aquí. He publicado un comentario en esa respuesta, si sabe, ¿puede responder?

Respuestas (2)

En realidad, es solo una convención que resulta que funciona muy bien.

Fundamentalmente, las rotaciones deben considerarse como actuando en un plano . Por ejemplo, su ruleta está girando en el X y -avión. Si aplicas una fuerza en el X -dirección en un punto de la y -eje, éste ejerce un par en el X y -plano, y su momento angular en el X y -cambios de plano.

Pensado de esta manera, el par no es realmente el mismo que los vectores que aprendiste en la introducción a la física. Entre otras cosas, tiene dos direcciones asociadas, en lugar de una sola dirección asociada con un vector. Y si eres un estudiante introductorio, puede ser molesto y frustrante tener que aprender un conjunto completamente nuevo de maquinaria matemática para realizar el movimiento de rotación. ¡Los vectores pueden ser lo suficientemente complicados!

Pero, afortunadamente, se nos ocurrió un pequeño "truco" para solucionar esto. Si lo piensas, decir que "este objeto está girando en el X y -plano" es equivalente a decir "este objeto z -el eje está fijo". Lo que hace el producto vectorial es mapear los dos vectores que definen un plano de rotación ( i ^ y ȷ ^ ) a un vector que define el eje fijo ( k ^ ). No hay necesariamente ningún movimiento en el z -dirección cuando esto sucede; es solo una forma de mapear planos de rotación (como el X y -plano) a los ejes de rotación (como el z -eje.)

Gracias. Entonces, no tenemos otra forma de definir el producto del producto vectorial, así que solo decimos que si están girando en el plano xy, ¿entonces z(k^) debería ser fijo? ¿Podemos también definirlos como "si es un producto cruzado, entonces su suma debería ser 1 (ya que sen90 es 1)"?
(2) También según esta lógica siempre que supongamos que dos vectores se multiplican en cruz y la respuesta es 5i+7j+k. Entonces, ¿qué significa eso?
¿Puedes responder estas preguntas, estoy realmente confundido?
@Usuario: no estoy seguro de qué significa tu primera pregunta; ¿puedes reformularlo? En cuanto a la segunda pregunta, una forma de verlo es que si r → × F → = 5 i ^ + 7 ȷ ^ + k ^ , entonces ese par hará que un objeto gire alrededor de un eje paralelo al vector 5 i ^ + 7 ȷ ^ + k ^ (o, más exactamente, en el plano perpendicular a este vector).
Recibí la respuesta de la 1ra pregunta. Llegué a la conclusión de que usamos el vector unitario n^ (que para el producto de i y j es k) cuando tenemos que describir si el par o el movimiento de cualquier otra cantidad vectorial es en sentido horario o antihorario. Pero no puedo entender la segunda pregunta por esta conclusión. Supongamos que el producto sería 5i+7j-k, ¿significaría eso que el movimiento es en el sentido de las agujas del reloj?
No, las rotaciones en sentido horario y antihorario alrededor del mismo eje corresponderían a dos vectores que son completamente opuestos entre sí (es decir, 5 i ^ + 7 ȷ ^ + k ^ contra − 5 i ^ − 7 ȷ ^ − k ^ .)
Muchas gracias, entendí.

No hay movimiento en la tercera dirección. El par en tres dimensiones será un vector si cumple las propiedades de un vector. Por la forma en que suma y resta, por la forma en que se transforma bajo cambios de sistema de coordenadas y por su comportamiento bajo composición con otros vectores usando operaciones vectoriales, podemos concluir que es un vector y encontrar su dirección. Por ejemplo, podemos encontrar el producto escalar del par con un vector en el plano ij. Si esto desaparece, podemos concluir que los puntos de torque en el ± dirección k.

Además, el torque no necesita ser siempre un vector, como en el caso hipotético de un mundo bidimensional. Aquí tenemos rotaciones, pero no una tercera dirección, por lo que el torque ya no es un vector, ya que simplemente no satisface las propiedades de un vector bidimensional.

¿Por qué el producto vectorial de dos vectores da un vector en una dirección ortogonal? [duplicar]
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