Momento de inercia de un sistema de barra y bola

Tengo un problema en el que una varilla de longitud$d$tiene masa$m$y una masa puntual de$2m$está en el extremo izquierdo de la misma. Quiero calcular los momentos de inercia de varios ejes todos perpendiculares a la varilla. Ya calculé correctamente el momento de inercia directamente para el eje que pasa por el punto medio de la barra, encontrando que es$\frac{7md^2}{12}$. Pero luego se me ocurrió que esto sería más eficiente si encontrara el momento de inercia a través del centro de masa y usara el teorema de los ejes paralelos repetidamente.

Para hacer eso, calculé el centro de masa del sistema y encontré que era$d/6$. Luego calculé el momento de inercia a través del centro de masa en dos partes, una para la masa de la barra misma,

$$\int_{-d/6}^{5d/6}r^2dm = \lambda \frac{r^3}{3}\Bigg|_{-d/6}^{5d/6} = \frac{m}{3d}\left[\left(\frac{5d}{6}\right)^3-\left(\frac{-d}{6}\right)^3\right]$$

$$=\frac{md^2}{3}\left(\frac{126}{6^3}\right)=\frac{7md^2}{36}$$

Pero luego tengo que agregar la masa de la pelota al final que contribuye$2m(d/6)^2$al momento de inercia y por lo tanto el momento en el centro es

$$I_{cm}=\frac{md^2}{4}$$

Ahora, sin embargo, cuando uso el teorema de los ejes paralelos para obtener el momento de inercia en el punto medio, obtengo

$$\frac{md^2}{4}+m(2d/6)^2 = \frac{13md^2}{36}$$

Claramente no obtengo la respuesta correcta.