Inercia del disco con centro de masa descentrado

Question

Inercia del disco con centro de masa descentrado

Julián Gutiérrez

Quiero calcular la energía cinética de un disco (radio $R$ y masa $M$ ) rodando sin deslizar en el plano horizontal, pero con el centro de masa desplazado una distancia $r$ del centro geométrico.

No tengo ningún problema con la parte de traslación (centro de masa), pero cuando se trata de la rotación $\dfrac{1}{2}I\dot{\theta}^2$ No sé qué expresión es la correcta para el momento de inercia.

Mis intentos:

$1.$ $I=\dfrac{1}{2}Mr^2$ , como una partícula que rueda alrededor del centro.

$2.$ $I=I_{CM}+Mr^2$ , pero en este caso (usando el teorema de ejes paralelos) no sé cómo calcular el $I_{CM}$ , ya que la distribución de masa es desconocida (y no uniforme porque el centro de masa no está en el centro).

$3.$ $I=I_{CM}+Mr^2$ , donde esta vez $I_{CM}$ es la de un disco uniforme de masa M (por lo que es igual a $\dfrac{1}{2}MR^2$ pero esto sería como decir que el disco está rodando alrededor de su centro de masa, lo cual no es el caso.

Cualquier ayuda sería apreciada.

---------------------EDIT:------------------------------------ (cambiando la notación a $r=a$ , $\theta=\phi$ , $I=I_{CM}$ )

Encontré en Landau el mismo problema (resuelto):

Utiliza la inercia sobre el eje que pasa por el centro de masa, I, y con el teorema de ejes paralelos traduce esto al punto de contacto. Pero ahora quiero hacer el mismo cálculo usando el enfoque anterior. La posición del centro de masa es $(-a\sin(\phi)+R\phi,-a\cos(\phi)+R)$ , entonces su velocidad es $(-a\dot{\phi}\cos(\phi)+R\dot{\phi},-a\dot{\phi}\sin(\phi))$ , y la energía de traslación del centro de masa es $\dfrac{1}{2}m(R^2+a^2-2aR\cos{\phi})\dot{\phi}^2$ .

Ahora tengo que agregar la parte rotacional. $\dfrac{1}{2}I^{*}\dot{\phi}^2$ . Entonces, la única forma de obtener el mismo resultado que Landau es $I^{*}=I$ , pero dice que el disco gira alrededor de su centro de masa, lo cual no creo que sea el caso. si en cambio $I^{*}=I+Ma^2$ , (es decir, trasladando la rotación sobre el centro) como se sugiere, entonces el resultado no es el mismo. ¿Qué ocurre?

Respuestas (1)

Inercia del disco con centro de masa descentrado

Skawang · Answer 1

(1) es definitivamente incorrecto. El momento de inercia de un cuerpo es $\int_{\forall dm}{}(dm) r^2$ y no $(\int_{\forall dm}^{} dm)r^2$ (tienes que sumar el producto de la masa por la distancia, no sumar la masa, luego multiplicar por la distancia).

(2) es correcto pero no se puede encontrar $I_{CM}$ sólo de la información dada.

Realmente no sé lo que hiciste en (3). $I_{CM}$ no es $\frac{1}{2}MR^2$ en este caso.

No puede encontrar el momento de inercia simplemente conociendo la masa del cuerpo y cuánto se ha desplazado el centro de masa, es decir, la ubicación del centro de masa.

Déjame dar un ejemplo, digamos que hay 2 masas de masa $m$ . Ahora, el centro de masa está en el punto medio de estos dos puntos. Digamos que la mitad de la distancia entre estos dos puntos es $r$ . Entonces, el momento de inercia de ambas masas con respecto al punto medio es $2mr^2$ . Ahora, mueve cada una de las masas una distancia $r$ más lejos del centro de masa. La posición del centro de masa permanece sin cambios, pero el momento de inercia se convirtió en $8mr^2$ .

El punto es, para una ubicación dada del centro de masa y una masa $M$ , hay infinitas distribuciones de masa que dan la misma posición del centro de masa pero diferente momento de inercia sobre el mismo punto. no puedes deducir $\int_{\forall dm}{}(dm) r^2$ de $\int_{\forall dm}{}(dm) \vec{r}^{\,}$ .

--------------------- EDITAR: --------------------

No mencionó antes de su edición que se dio el momento de inercia sobre el centro de masa.

Parece que tienes un problema con la expresión de la energía cinética de un cuerpo giratorio. La expresión de la energía cinética total es

k = k_{t r a norte s yo a t i o norte a yo} + k_{r o a t a t i o norte a yo} = \frac{1}{2} METRO v_{C METRO}^{2} + \frac{1}{2} I_{C METRO} ω^{2}

$K=K_{translational}+K_{roatational}=\frac{1}{2}Mv_{CM}^2+\frac{1}{2}I_{CM}\omega ^2$ La energía cinética de rotación como tal puede ser alrededor de cualquier eje y varía de un eje a otro debido al cambio en el momento de inercia. Sin embargo, cuando estás calculando la expresión de energía total

K = K_{t r a n s l a t i o n a l} + K_{r o a t a t i o n a l} = \frac{1}{2} M v_{C M}^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2}

$K=K_{translational}+K_{roatational}=\frac{1}{2}Mv_{CM}^2+\frac{1}{2}I\omega ^2$ tienes que usar el momento de inercia sobre

C M

$CM$ . La razón se vuelve evidente cuando pasa por la derivación de la energía cinética total de un cuerpo giratorio. Daré la derivación más tarde si lo desea porque eso estará fuera del alcance de la pregunta.

Además, marca tu edición. En este momento, parece que es una continuación.

Absolutamente correcto, estudié la derivación de la expresión para la energía cinética total. Muchas gracias.

Inercia del disco con centro de masa descentrado

Julián Gutiérrez

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Skawang

Julián Gutiérrez

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