Momento de inercia: barra rígida uniforme en un plano liso [cerrado]

Denotemos$\ P$el punto correspondiente al extremo de la varilla sin aplicar fuerza, entonces aplicamos una fuerza$\ \overrightarrow{F}$en el otro extremo de la varilla, tal que sea paralelo al plano y perpendicular a la varilla. Ahora bien, con respecto al centro de masa, la única fuerza cuyo momento de torsión es diferente de cero es$\ \overrightarrow{F}$:

$$\vec{M_{cm}}=\overrightarrow{R}\times\overrightarrow{F}$$ Ahora, proyectando esta ecuación sobre un eje con versor $\hat{a}$perpendicular al plano, obtenemos: $$\ M_a=RF=\frac{b}{2}F=I_a\dot{\omega}=I_a\alpha=\frac{mb^2}{12}\alpha$$ $$\ \implies \alpha=\frac{6F}{mb}$$ Dónde $\alpha$es la aceleración angular alrededor del centro de masa.

Así que a distancia$\frac{b}{2}$desde el centro de masa, la aceleración es

$$\ a=\alpha \frac{b}{2}-\frac{F}{m}=\frac{2F}{m}$$

Porque para el centro de masa, tenemos que$\sum \vec{F}=m\vec{a_{cm}}\implies a_{cm}=\frac{F}{m}$

Y esto es en la dirección opuesta.

La fuerza genérica, aplicada a distancia$\ r$desde el centro, da un par:

$$\ \ M=rF=\frac{mb^2}{12}\alpha\implies \alpha=\frac{12rF}{mb^2}$$

Entonces, para tener$\ a=0$por el punto$\ P$, debes tener:

$$\ a=\alpha \frac{b}{2}-\frac{F}{m}=\frac{6rF}{mb}-\frac{F}{m}=0$$ $$\ \implies 6\frac{r}{b}=1\implies r=\frac{1}{6}b$$