Momento angular total del cálculo del estado de tres partículas de espín-1/2

Question

Momento angular total del cálculo del estado de tres partículas de espín-1/2

se siente a vals

Me encontré con un problema que involucra un sistema con tres partículas de espín-1/2 en un estado dado, para el cual el momento angular total (espín) se puede calcular usando el $\hat{S}^2$ operador en la representación

{\hat{S}}^{2} = {\hat{S}}_{-} {\hat{S}}_{+} + ℏ {\hat{S}}_{z} + {\hat{S}}_{z}^{2}

$\hat{S}^2 = \hat{S}_-\hat{S}_+ + \hbar\hat{S}_z + \hat{S}^2_z$ Las tres partículas están en el estado

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{6}} (- 2 | ↓↓↑ ⟩ + | ↓↑↓ ⟩ + | ↑↓↓ ⟩)

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}\left(-2|\downarrow\downarrow\uparrow\rangle + |\downarrow\uparrow\downarrow\rangle + |\uparrow\downarrow\downarrow\rangle\right)$ Estoy viendo que la solución a esto da un momento angular de giro total de

1 / 2 ℏ

$1/2\hbar$ , pero resolver el problema yo mismo no me da el mismo resultado. Puedo ver que aplicar cada operador al estado da un valor correspondiente a

S (S + 1) ℏ

$S(S+1)\hbar$ que entonces debería dar un valor para

S

$S$ pero, por ejemplo, la solución trabajada que tengo da el resultado de la

ℏ {\hat{S}}_{z}

$\hbar\hat{S}_z$ operador en el estado a ser

- 1 / 2 ℏ^{2}

$-1/2\hbar^2$ , que no es lo que estoy viendo.

¿Cómo opero los constituyentes de $\hat{S}^2$ en este estado?

cxx

¿Qué libro estás usando? Para uno,

S^{2}

$S^2$ y

S_{z}

$S_z$ no opere en el sistema "muy bien" y no dará el resultado

ℏ s (s + 1)

$\hbar s(s+1)$ . Puede aplicar el operador de momento angular total después de usar los coeficientes de Clebsch-Gordan para descomponer sus estados acoplados. (¿o emparejar sus estados descompuestos? No estoy seguro de cómo va la redacción).

Respuestas (1)

Momento angular total del cálculo del estado de tres partículas de espín-1/2

¿Qué libro estás usando? Para uno, $S^2$ y $S_z$ no opere en el sistema "muy bien" y no dará el resultado $\hbar s(s+1)$ . Puede aplicar el operador de momento angular total después de usar los coeficientes de Clebsch-Gordan para descomponer sus estados acoplados. (¿o emparejar sus estados descompuestos? No estoy seguro de cómo va la redacción).

jonathan curtis · Answer 1

Considere cada uno de los estados en la superposición. Cada uno de ellos es un vector propio del operador colectivo

S_{z} = S_{z}^{(1)} \otimes 1 \otimes 1 + 1 \otimes S_{z}^{(2)} \otimes 1 + 1 \otimes 1 \otimes S_{z}^{(3)}

$S_z = S_z^{(1)}\otimes 1\otimes 1 + 1\otimes S_z^{(2)}\otimes 1+ 1\otimes 1\otimes S_z^{(3)}$ ya que cada uno tiene dos giros hacia abajo y uno hacia arriba. Por lo tanto, tienen un valor propio neto de espín

1 / 2

$1/2$ abajo. Explícitamente, para el tercer elemento (tomando

ℏ = 1

$\hbar = 1$ ),

S_{z} | ↑↓↓ ⟩ = \frac{1}{2} | ↑↓↓ ⟩ + (- \frac{1}{2}) | ↑↓↓ ⟩ + (- \frac{1}{2}) | ↑↓↓ ⟩ = - \frac{1}{2} | ↑↓↓ ⟩ .

Eso tiene sentido, pero ¿el factor (-2) en el primer elemento no da un resultado de 0 en general? es decir -2(-1/2) -1/2 -1/2 = 0
No, porque cada uno de esos coeficientes está multiplicando un ket (en el caso del -2 es el $|\uparrow \downarrow \downarrow\rangle$ ket. Luego factoriza el factor de 1/2 y ve que la combinación completa de vectores es un vector propio con valor propio 1/2, que le dice cuál es el total $S_z$ es.

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cxx

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jonathan curtis

se siente a vals

jonathan curtis

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