Malentendido en la medición de espín secuencial

Tengo problemas para entender algo relacionado con las mediciones secuenciales.

Supongamos que tenemos una función de onda que consiste en una superposición de espín hacia arriba y espín hacia abajo en la dirección z (espín = 1/2). Medimos el giro en la dirección z, luego en x y luego en z nuevamente y preguntamos cuál es la probabilidad de que el giro sea hacia arriba.

Sé que la respuesta es la mitad, ya que una vez que mido en la dirección x, hay 1/2 de posibilidades de que gire x hacia arriba y 1/2 de que gire hacia abajo x, independientemente de la función de onda original, y lo mismo cuando vuelva a midiendo el espín z de nuevo.

Sin embargo, cuando realizo S z S X S z en la función de onda original, luego proyéctelo en spin up (z) y calcule el valor absoluto al cuadrado (la probabilidad de spin up), obtengo la misma probabilidad que con la función de onda original la primera vez que medí el giro en z dirección. Así que supongamos que originalmente tenía 1/3 de probabilidad de girar hacia arriba en la primera medición, luego tendré lo mismo la segunda vez, incluso después de haber medido el giro en la dirección x en el medio.

Obviamente simplemente multiplicando la función de onda original por los operadores S z S X S z no funciona, pero ¿por qué? ¿Por qué es esto fundamentalmente incorrecto?

gracias de antemano

(Escribiría las matrices y las calcularía aquí, pero mi computadora está rota y hacerlo en el teléfono no es lo más fácil)

Respuestas (1)

Obviamente, simplemente multiplicar la función de onda original por los operadores SzSxSz no funciona, pero ¿por qué? ¿Por qué es esto fundamentalmente incorrecto?

Simplemente porque medir un observable en un estado dado no es aplicar el operador al vector de estado. Recordarle el postulado básico de QM con respecto a la medición está en orden:

La medida de lo observable A en estado | s ⟩ da como resultado un valor propio a de A y deja el sistema en el estado propio correspondiente | a ⟩ de A . Se puede obtener cada valor propio, cada uno con probabilidad | ⟨ a | s ⟩ | 2 . (He dado la forma más simple del postulado, manteniendo valores propios no degenerados).

Apliquémoslo a nuestro caso. El ket inicial es

α | z + ⟩ + β | z − ⟩ | α | 2 + | β | 2 = 1
(Supongo que la notación se explica por sí misma).

Medida de s z en este estado dejará el sistema en uno de dos estados:

  • | z + ⟩ con probabilidad | α | 2
  • | z − ⟩ con probabilidad | β | 2 .

Ahora para la medición de s X en | z + ⟩ . Los resultados son

  • | X + ⟩ con probabilidad 1 2
  • | X − ⟩ con probabilidad 1 2

y lo mismo sucede para | z + ⟩ . Por lo tanto, después de medir s X nosotros podríamos tener

  • | X + ⟩ con probabilidad 1 2 ( | α | 2 + | β | 2 ) = 1 2
  • | X − ⟩ con probabilidad 1 2 ( | α | 2 + | β | 2 ) = 1 2 .

Los dejo terminando el ejercicio.

Por lo que entiendo, lo que hice fue: encontrar la probabilidad de medir z+ con un operador totalmente diferente y, en general, hasta cierto punto es una coincidencia que z+ incluso sea un valor propio para el operador.
@Mageer No estoy seguro de entender su pregunta. Además, me temo que, después de todo, mi notación no se explicaba por sí misma. Cuando yo escribo | z + ⟩ Me refiero al vector propio de s z al valor propio +1/2. ¿Podría por favor reformular su pregunta?
tu notación se explica por sí misma y me has ayudado a resolver el problema, gracias :)
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