Punto fijo Wilson-Fisher en dimensiones 2+1

Question

Punto fijo Wilson-Fisher en dimensiones 2+1

Bot feudalista libertario

En el artículo de y Nathan Seiberg, T. Senthil, Chong Wang y Edward Witten,

Una Red de Dualidad en 2+1 Dimensiones y Física de la Materia Condensada

se afirma en la página 1 que las dos teorías

| D_{B} ϕ |^{2} - gramo | ϕ |^{4} ⟷ \frac{- 1}{4 {mi}^{2}} {\hat{F}}_{m v} {\hat{F}}^{m v} + | D_{\hat{b}} \hat{ϕ} |^{2} - \hat{gramo} | \hat{ϕ} |^{4} + \frac{1}{2 π} ϵ^{α β γ} {\hat{b}}_{α} \partial_{β} B_{γ}

$|D_{B}\phi|^{2}-g|\phi|^{4}\longleftrightarrow\frac{-1}{4e^{2}}\hat{f}_{\mu\nu}\hat{f}^{\mu\nu}+|D_{\hat{b}}\hat{\phi}|^{2}-\hat{g}|\hat{\phi}|^{4}+\frac{1}{2\pi}\epsilon^{\alpha\beta\gamma}\hat{b}_{\alpha}\partial_{\beta}B_{\gamma}$

son duales y fluyen al punto fijo de Wilson-Fisher en el IR, donde $\hat{f}_{\mu\nu}=\partial_{\mu}\hat{b}_{\nu}-\partial_{\nu}\hat{b}_{\mu}$ . Las dimensiones de masa clásicas son $[ \phi ]=[ \hat{\phi} ]=1/2$ , $[B]=[ \hat{b} ]=1$ , $[g]=[ \hat{g} ]=1$ , y $[e]=1/2$ . En el límite IR, espero que $e\rightarrow\infty$ y $g,\hat{g}\rightarrow\infty$ , por lo que puedo descartar el término cinético de $\hat{b}$ campo $d\hat{b}\wedge\ast d\hat{b}$ , y las teorías se acoplan fuertemente.

Sin embargo, a partir de esta tesis de licenciatura del Grupo de Renormalización Funcional para teorías de campos escalares de Arthur Vereijken, la $\beta$ -función de verdad $\phi^{4}$ escalar se calcula mediante el uso de la ecuación de flujo RG exacta de Wetterich, que se usa ampliamente en la comunidad de gravedad cuántica.

Muestra que la teoría

S = \int d^{D} X {\frac{1}{2} ϕ (X) (- \partial^{2} + {metro}^{2}) ϕ (X) + \frac{λ}{4!} ϕ (X)^{4}}

$S=\int d^{D}x \left\{\frac{1}{2}\phi(x)\left(-\partial^{2}+m^{2}\right)\phi(x)+\frac{\lambda}{4!}\phi(x)^{4}\right\}$

\equiv \int d^{D} X {\frac{1}{2} ϕ (X) (- Z_{Λ} \partial^{2} + Λ^{2} {\tilde{metro}}_{Λ}^{2}) ϕ (X) + \frac{Λ^{4 - D}}{4!} λ_{Λ} ϕ (X)^{4}}

$\equiv\int d^{D}x\left\{\frac{1}{2}\phi(x)\left(-Z_{\Lambda}\partial^{2}+\Lambda^{2}\tilde{m}_{\Lambda}^{2}\right)\phi(x)+\frac{\Lambda^{4-D}}{4!}\lambda_{\Lambda}\phi(x)^{4}\right\}$

tiene un punto fijo de Wilson-Fisher en

Z_{*} = 1

$Z_{\ast}=1$

{\tilde{metro}}_{*} = \frac{D - 4}{dieciséis - D}

$\tilde{m}_{\ast}=\frac{D-4}{16-D}$

{\tilde{λ}}_{*} = \frac{9 \cdot 2^{D + 5} π^{D / 2} Γ (D / 2 + 1) (4 - D)}{(dieciséis - D)^{3}}

$\tilde{\lambda}_{\ast}=\frac{9\cdot 2^{D+5}\pi^{D/2}\Gamma(D/2+1)(4-D)}{(16-D)^{3}}$

En D=2+1, el punto fijo de Wilson-Fisher tiene un acoplamiento finito, con masa cuadrada negativa $-1/13$ , y también tiene una ruptura de simetría espontánea.

Sin embargo, en el artículo de Nathan Seiberg, T. Senthil, Chong Wang y Edward Witten, se dice claramente que el punto fijo de Wilson-Fisher en 2+1 dimensiones no tiene masa.

¿Estoy malinterpretando algo aquí?

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Punto fijo Wilson-Fisher en dimensiones 2+1

CuentaTemporal2020 · Answer 1

Esta es una diferencia en el lenguaje, no en la física. Los QFT en un punto crítico son, por definición, sin masa: las funciones de correlación de dos puntos de campos renormalizados apropiadamente decaen como una ley de potencia en el espacio de posición, que en el espacio de momento corresponde a propagadores de la forma

Π (pag) = \frac{C}{({pag}^{2})^{1 + γ}}

$\Pi(p) = \frac{c}{(p^2)^{1+\gamma}}$ por algún número

γ

$\gamma$ . La función anterior no tiene polos en finito

p^{2}

$p^2$ , por lo que la teoría es sin masa.

La segunda fórmula que está discutiendo calcula algo completamente diferente, a saber, qué contratérminos necesita agregar a la $\phi^4$ Lagrangiano para fluir hasta el punto crítico. El término de masa

Λ^{2} {metro}_{Λ}^{2} ϕ^{2}

$\Lambda^2 m_{\Lambda}^2 \phi^2$ es solo un simple acoplamiento, un parámetro UV de la teoría. Si realmente calcula las funciones de correlación en la teoría, descubrirá que la brecha de masa es cero, no

O (m_{Λ})

$O(m_\Lambda)$ .

Pero el punto crítico calculado en el segundo artículo muestra que tiene masa negativa al cuadrado. Estoy confundido.
@NewStudent: Lo que llamas la masa negativa al cuadrado, es decir, el coeficiente de $\phi^2$ en el Lagrangiano no es la verdadera masa. Eso es lo que TempAccount2020 intentaba explicar.
Estoy totalmente de acuerdo con @AbdelmalekAbdesselam. En una QFT gaussiana la $m^2$ el acoplamiento en el Lagrangiano resulta ser la masa física, pero en una teoría de interacción eso simplemente no es correcto: la masa se vuelve a normalizar debido a las interacciones. Ese es el objetivo de calcular diagramas de bucle. Estoy seguro de que el artículo de estilo Wetterich que cita tiene una derivación extensa del valor de $\tilde{m}_\Lambda$ , y esta derivación mostrará que es la elección correcta obtener física sin masa.
Por lo que entiendo del flujo RG, la integración de modos de alta frecuencia conduce a correcciones cuánticas en los acoplamientos desnudos. En una determinada escala de energía (punto crítico), los acoplamientos se fijan. Este es el punto donde la función beta es cero. Del segundo artículo, el punto fijo de Wilson-Fisher tiene una ruptura de simetría espontánea. ¿Estoy malinterpretando algo? ¿Podría por favor elaborar?

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CuentaTemporal2020

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Abdelmalek Abdesselam

CuentaTemporal2020

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