Modelo cuasi-clásico de un átomo

Esta pregunta no tiene una relación cercana con esta o esta pregunta de Stack Exchange. No se trata del modelo atómico de Bohr ni del modelo atómico de Rutherford, pero está bastante relacionado con esta pregunta de 3 SE.

Antecedentes de la pregunta: las soluciones a las ecuaciones de Maxwell, con fuentes arbitrarias independientes del tiempo$\rho (\vec x)$y$\vec j (\vec x)$, son (de las ecuaciones de Jefimenko, con un guiño a @knzhou):

$$\vec E_{static} (\vec x) = \frac {1}{4 \pi} \int \frac {\rho(\vec x)} {|\vec x - \vec x'|^3} (\vec x - \vec x') d^3 x'$$

y

$$\vec B_{static} (\vec x) =\frac {1}{4\pi} \int \frac {\vec j (\vec x)} {|\vec x - \vec x'|^3} (\vec x - \vec x') d^3 x' ,$$

con soluciones arbitrarias$E_{rad} (\vec x, t)$y$B_{rad} (\vec x,t)$de la ecuación de onda añadida:

$$\vec E_{total} = \vec E_{rad} + \vec E_{static}.$$

$\vec E_{rad}$y$\vec B_{rad}$no dependas de$\rho (\vec x)$o$\vec j (\vec x)$en absoluto, porque$\rho (\vec x)$y$\vec j (\vec x)$son sólo dependientes de la posición. En otras palabras,$\vec E_{rad}$y$\vec B_{rad}$son meramente "radiación de fondo" permitida por las ecuaciones de Maxwell pero que no resultan de los términos fuente$\rho (\vec x)$y$\vec j (\vec x)$.

Postularé términos fuente$\rho (\vec x)$y$\vec j (\vec x)$, pero representan$\vec j$como sigue:

$$\vec j = \rho (\vec x) {\vec v},$$ dónde $$\vec v = \vec v(\vec x).$$

En otras palabras, la corriente se representa como si fuera un fluido con densidad$\rho$y velocidad dependiente de la posición. Para la conservación de la carga,

$$\nabla (\rho \vec v) = 0.$$

Las ecuaciones ahora describen la solución estática general de las ecuaciones de Maxwell, suponiendo que la corriente se debe a una densidad de carga que se mueve como un fluido.

Teniendo en cuenta los supuestos anteriores, es claro que$\vec v$es una función de posición, y creo que significa que cada elemento de$\rho$se acelera de acuerdo a

$$\frac {d}{d t} \vec v = (\vec v \cdot \nabla) \vec v,$$ (corregido, gracias a @g.Smith) aunque las densidades de carga y corriente per se no dependen del tiempo. El flujo de cada elemento de densidad de carga tomado de forma aislada constituiría una corriente dependiente del tiempo, pero tomados en conjunto no habría dependencia del tiempo y, por lo tanto, no habría radiación.

La pregunta: Creo que las afirmaciones anteriores son directas y correctas. Ahora viene un pequeño salto:

Si la densidad de carga$\rho$tiene una densidad de masa asociada proporcional a$\rho$, creo que una "mancha fluida" de carga$\rho$y densidad de corriente$\rho \vec j$podría orbitar una carga masiva central de signo opuesto de tal manera que la carga resultante y la densidad de corriente sean independientes del tiempo y no radien. Si no irradia, es estable (creo).

Esto parecería describir un modelo casi clásico de un átomo, siempre que la carga total y el momento angular estén cuantificados, y siempre que ningún elemento del fluido cargado interactúe con el resto del fluido cargado . (Clásicamente, esto sería absurdo, pero aceptamos felizmente el hecho de la mecánica cuántica de que la función de onda del electrón no interactúa consigo misma). Seguramente este modelo ha sido explorado y rechazado por múltiples buenas razones, pero no he podido encontrar ninguna. papeles que lo mencionan.

Aquí hay un bosquejo de un caso simple. La esfera morada en el centro es la carga masiva:

Basado en referencias como Mfrisch , parece que el sistema que he propuesto ha sido considerado y abandonado más por su complejidad que por cualquier otra cosa. Sin embargo, el problema se simplifica enormemente bajo la suposición de que el fluido cargado no interactúa consigo mismo. Con un fluido cargado clásico que no tendría mucho sentido; pero dado que este es solo un modelo casi clásico, debería estar bien.

Puede ser posible usar una versión de la ecuación de Boltzmann para derivar distribuciones de carga/corriente estacionarias alrededor de una partícula cargada masiva.