¿Por qué la circunferencia orbital de los electrones tiene que estar en múltiplos de longitudes de onda de De Broglie?

Asumiré que está familiarizado con las propiedades de las ondas, como la interferencia y la difracción.

Considere un electrón que orbita alrededor del núcleo. Según la hipótesis de de Broglie, lo consideraríamos como una onda que orbita alrededor del núcleo. Ahora, una vez que la onda de electrones orbite una vez, la segunda vez interferiría con la primera onda. Para que el sistema sea estable, el electrón no debe cancelarse a sí mismo, por lo que la onda debe interferir constructivamente. Eso significa que la circunferencia debe ser un múltiplo entero de la longitud de onda del electrón.

Aquí hay una imagen que muestra cómo se espera que exista la onda de electrones en el átomo según la teoría de Bohr.

Nada en realidad. Fue una conjetura bastante descabellada de Bohr y le proporcionó el espectro del hidrógeno. Bastante buena suposición de hecho.

De Broglie sugirió la existencia de ondas de materia y dio una relación entre su longitud de onda y su momento.

$\lambda=\frac{h}{p}$,

Dijo que esta relación es completamente general. Se puede aplicar a partículas de materia e incluso a fotones.

Bohr, en su modelo atómico, consideró que un electrón tiene la forma de una onda electrónica estacionaria y si esta onda debe ser continua sobre la circunferencia de la órbita estacionaria en la que se encuentra el electrón, la circunferencia debe ser un múltiplo entero de su longitud de onda.$(n\lambda)$.

$2\pi r=n\lambda$

$2\pi r=\frac{nh}{p}$

$pr=\frac{nh}{2\pi}$

Y finalmente,

$mvr=\frac{nh}{2\pi}$

Esto proviene de la fórmula de cuantización de Bohr-Sommerfeld, que se puede derivar de la aproximación semiclásica WKB de la mecánica cuántica, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. La condición de cuantificación se deriva de requerir un solo valor de la función de onda.

Bastante nuevo aquí. De todos modos, no fue una suposición de Bohr en primer lugar. Y es para ahorrar energía, de lo contrario, una vez que esté fuera de fase, comenzará a perder energía y la cuantificación de Niels no será válida. Esa es la explicación lógica, aunque aún incompleta, considerando que están sucediendo muchas cosas y que la teoría a la que nos referimos está desactualizada en GRAN medida. ¡Feliz aprendizaje!