Significado de la aproximación dipolar para las reglas de selección

Me parece que usted ha hecho un grupo de preguntas. Usted preguntó por qué la transición del dipolo eléctrico es a menudo la única interacción que nos interesa, ignorando todos los demás términos correspondientes a momentos multipolares más altos. También preguntó (efectivamente) cuál es el parámetro de pequeñez que justifica esta elección. Creo que la mejor manera de responderlas es pasar por la derivación de varios términos de contribuciones a la interacción entre un átomo y un campo de radiación. Omitiré algunos detalles para presentar un esquema claro del argumento. Mis derivaciones aquí se basan principalmente en Quantum Mechanics Vol. 1 de Cohen-Tannoudji. 2, Complemento A13.

El hamiltoniano de un electrón en un campo electromagnético descrito por potencial vectorial$\mathbf A(\mathbf r, t)$y potencial escalar$q\phi(\mathbf r, t)$es

$$H = \frac{1}{2m} [\mathbf p - q \mathbf A(\mathbf r, t)]^2 + q\phi(\mathbf r, t)- \frac{q\hbar}{2m} \boldsymbol \sigma \cdot \nabla\times \mathbf A (\mathbf r, t) \>.$$ Podemos expandirlo en $$H(t) = \frac{\mathbf p^2}{2m} + q\phi(\mathbf r, t)- \frac{q}{m}\mathbf p \cdot \mathbf A - \frac{q\hbar}{2m} \boldsymbol \sigma\cdot \nabla\times \mathbf A + \frac{q^2}{2m} \mathbf A^2 \>.$$ El último término puede ignorarse para fuentes de luz ordinarias, ya que la intensidad es suficientemente baja. Llame al tercer término $W_1$y el cuarto termino $W_2$. Ahora podemos tratar $W_1 +W_2$como una perturbación del hamiltoniano atómico (los términos primero y segundo), y analizarlo intentando expandirlo con respecto a algún parámetro de pequeñez.

Suponiendo que estamos tratando con ondas planas polarizadas en una dirección, podemos estimar y comparar la magnitud de los términos$W_1$y$W_2$,

$$\frac{W_2}{W_1} \simeq \frac{\frac{q}{m}\hbar |\mathbf k| \mathcal A_0}{\frac{q}{m}p \mathcal A_0} = \frac{\hbar |\mathbf k|}{p} \>,$$ dónde $\mathcal A_0$es la amplitud del campo de potencial vectorial, $\mathbf k$su vector de onda, y $p$el impulso del electrón. Desde $\hbar/p$es como máximo del orden del tamaño del átomo que está en la escala del radio de Bohr $a_0$, y $|\mathbf k| = 2\pi/\lambda$, dónde $\lambda$típicamente mucho mayor que el tamaño del átomo, esta proporción $W_2/W_1$es sobre $a_0 /\lambda$, que es muy pequeño. Esta es una buena justificación para ignorar $W_2$cuando estamos realizando el cálculo al orden cero en $a_0/\lambda$, que es el punto de partida de muchos análisis que puede encontrar en libros o en línea que solo intentan obtener el dipolo eléctrico hamiltoniano. Sin embargo, no estamos satisfechos con eso, por lo que realizaremos una expansión completa.

Ambos$W_1$y$W_2$contienen un factor exponencial$e^{\pm i\mathbf k\cdot \mathbf r}$como la dependencia espacial de$\mathbf A(\mathbf r, t)$. Entonces podemos expandirlo en potencias de$\mathbf k\cdot \mathbf r$. Tenga en cuenta de nuevo que$|\mathbf k| = 2\pi/\lambda$, y$\mathbf r$es del orden del tamaño del átomo, por lo que es del mismo orden que$W_2/W_1$. Por lo tanto, si ampliamos$W_1$en$W_1^0 + W_2^1 + \dots$y$W_2$en$W_2^0 + W_2^1 + \dots$, encontraremos que al orden cero de$\mathbf k \cdot \mathbf r$, tenemos$W_1^0$, y al primer orden tenemos$W_1^1 + W_2^0$etcétera.

La forma de los términos relevantes son$W_1^0 = \frac{q}{m} \mathbf p \cdot \partial_t \mathbf E(\mathbf r, t) = - q \mathbf r \cdot \mathbf E(\mathbf r, t)$(Se necesita un poco de trabajo para demostrar que estas dos formas son equivalentes, y haré que Cohen-Tannoudji lo haga por mí). Este es el término dipolo eléctrico. Al orden siguiente, el término del dipolo magnético es$W_2^0 = - \frac{q}{m}(\mathbf L + 2 \mathbf S)\cdot \mathbf B(\mathbf r, t)$, y el término del cuadrupolo eléctrico es$W_1^1 = - \frac{q}{m} \mathbf r\mathbf r\colon \nabla\mathbf E$, dónde$\colon$representa la doble contracción entre el tensor de momento cuadripolar y el gradiente del campo eléctrico. Estos términos están etiquetados por los momentos multipolares eléctricos y magnéticos porque en ellos aparecen los respectivos operadores de momentos multipolares. Para la derivación de los operadores de momentos multipolares, consulte nuevamente el Complemento E10 de Cohen-Tannoudji.

Ahora hemos ilustrado de dónde proviene cada uno de los términos y, lo que es más importante, cómo se comparan sus magnitudes. La respuesta a su pregunta sobre por qué las transiciones de dipolo eléctrico son prominentes es simplemente que el hamiltoniano para la transición de dipolo eléctrico es mucho mayor en magnitud que el hamiltoniano de dipolo magnético , así como las transiciones correspondientes a momentos multipolares más altos.

Como nota final, en su pregunta describió lo que sabía sobre la expansión multipolar en la electrodinámica clásica, pero lo que describió es cómo funcionan las cosas en el régimen de campo lejano, donde la frecuencia es alta y estamos interesados ​​en la radiación lejos de la fuente. , o$\mathbf k \cdot \mathbf r \gg 1$. En lo que estamos discutiendo aquí, estamos trabajando en el límite opuesto donde$\mathbf k \cdot \mathbf r \ll 1$. Aunque para ser más precisos, no estamos estudiando la radiación de una fuente sino cómo la radiación interactúa con el átomo, por lo que las situaciones no son exactamente comparables. Para obtener más información sobre aproximaciones de campo lejano y cercano y campos multipolares, consulte el Capítulo 9 de Electrodinámica de Jackson.