Átomo de hidrógeno desde la perspectiva de la antigua teoría cuántica

Ciertamente es posible llegar a ecuaciones de las trayectorias en términos de números cuánticos. Primero encontramos las trayectorias elípticas/circulares generales de forma clásica, y luego vemos si la regla de cuantización nos da algunas restricciones.

Trabajemos con coordenadas polares en el plano de la elipse, usando coordenadas$r$y$\theta$, centrado en el núcleo; en breve pasaremos a las coordenadas esféricas tridimensionales. Teniendo en cuenta la aceleración a lo largo$\mathbf{\hat{e}}_r$usando la ecuación EL, tenemos (tomando$\mu$como la masa reducida del sistema; si el electron tiene masa$m_e$y el proton tiene masa$m_p$, entonces$\mu=m_em_p/(m_e+m_p)$)

$$\frac{e^2}{r^2}=\mu\ddot{r}-\mu r\dot{\theta}^2,$$ donde hemos usado la fuerza del cuadrado inverso por un núcleo con un protón.

A lo largo de$\hat{\mathbf{e}}_\theta$, tenemos

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mu r^2\dot{\theta}=0.$$

No voy a pasar por todo el proceso de resolución de estas ecuaciones, pero no es demasiado elaborado. Introducimos algunas variables que surgen ya sea por conveniencia o como constantes de integración, y presentamos una solución:

• $p$es el momento angular total del sistema;$\mu r^2\dot{\theta}=p$.
• $W$es la energía total del sistema cuando se considera que el centro de masa está en reposo. Deseamos valores negativos de$W$, que son indicativos de estados vinculados aquí.
• $u=1/r$.

$$u(\theta)=\frac{e^2\mu}{p^2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4\mu^2e^4}{p^4}+\frac{8\mu W}{p^2}}\sin\theta$$

Resulta que esta es la ecuación de una elipse con foco en el origen; los ejes semimenor y semimayor$a$y$b$son dados por

$$a=-\frac{e^2}{2W};\quad b=\frac{p}{\sqrt{-2\mu W}}$$

Todavía no hemos demostrado que sólo ciertos valores de$a$y$b$están permitidos, ya que actualmente no hay restricciones en$W$y$p$. Pero si podemos encontrar las energías permitidas y los momentos totales, es trivial hacer sustituciones y llegar a la forma deseada de la descripción de la elipse.

Para observar la cuantización, podemos aplicar la regla de Wilson-Sommerfeld para cada una de las coordenadas esféricas$r$,$\vartheta$, y$\varphi$(piense en cómo se compara esto con el sistema anterior de$r$y$\theta$; es relevante). Tenemos

$$\begin{align} \oint \mathrm{d}r\,p_r&=n_r h\tag{A}\\ \oint \mathrm{d}\vartheta\,p_\vartheta&=n_\vartheta h\tag{B}\\ \oint \mathrm{d}\varphi\,p_\varphi&=n_\varphi h\tag{C} \end{align}$$

La ecuación C es la más fácil.$p_\varphi$es una constante, como se describe en la sección Rotator de la página vinculada en la pregunta; introducimos el número cuántico magnético$m$para definir la proyección del momento angular sobre el$xy$avión como

$$p_\varphi=m\hbar;\quad m=\pm1,\pm2,\dots$$

Hay algunas formas de resolver la ecuación B; Me resulta fácil volver a nuestro viejo formalismo con$\theta$que usamos al encontrar las formas de las órbitas; se asemeja al enfoque utilizado en el documento vinculado por G. Smith en los comentarios ( https://arxiv.org/abs/1605.08027 ). Sabemos$p_\theta$es el momento angular total, entonces

$$p_\theta=p=p_\vartheta+p_\varphi.$$

Introducimos el número cuántico azimutal$\ell$;

$$\oint\mathrm{d}\theta\,p_\theta=\ell h\Rightarrow p=\ell\hbar;\quad \ell=1,2,\dots$$

Por lo tanto, hemos aplicado con éxito la cuantificación de$p$; esperamos que la ecuación A nos ayude a resolver$W$. Es un proceso relativamente largo; reutilizamos nuestras viejas definiciones de$u$y$\theta$,

$$p_r\mathrm{d}r=\mu\dot{r}\mathrm{d}r=\frac{p}{u^2}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}u\right)^2\mathrm{d}\theta$$ Usando nuestra expresión para$u(\theta)$y aplicando la ecuación A, tenemos un muy problemático $$p\epsilon^2\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\,\frac{\cos^2\theta}{(1+\epsilon\sin\theta)^2}=n_rh,$$ donde hemos presentado$\epsilon=1-\frac{b^2}{a^2}$.

Afortunadamente, se nos da una solución bastante clara para esto:

$$p\left(\frac{1}{\sqrt{1-\epsilon^2}}-1\right)=n_r\hbar$$

Comparamos esto con nuestra fórmula para$p$en términos de$\ell$encontrar una relación entre los parámetros$a$y$b$de la elipse, y resolver para$W$. esto nos da

$$W_{n_r,\ell}=-\frac{\mu e^4}{2\hbar^2(n_r+\ell)^2}.$$

Puede conectar estas expresiones para$W_{n_r,\ell}$y$p_\ell$en la expresión para$u(\theta)$para encontrar las ecuaciones de las órbitas elípticas que deseabas.

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Ahora podemos analizar este resultado para responder a la segunda parte de la pregunta. Claramente, la degeneración de las órbitas con el mismo$n_r$y$\ell$está implícito en las energías permitidas. Hay un par de otras notas visuales importantes con respecto a las formas de las órbitas:

• Generalmente tenemos órbitas elípticas; son circulares cuando$n_r=0$.
• $m$es indicativo de la inclinación de la órbita en el espacio: el valor absoluto de la misma dicta el ángulo entre el plano de la órbita y el$xy$plano, y el signo te dice si la órbita es en sentido horario o antihorario.

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Referencia

Introducción a la Mecánica Cuántica de Pauling y Wilson