La interacción espín-órbita para un dipolo magnético clásico que se mueve en un campo eléctrico

El acoplamiento espín-órbita es un componente de la estructura fina de los átomos, que está explícitamente relacionado con la interacción del espín de los electrones con su momento angular orbital. Se puede derivar explícitamente de la ecuación de Dirac tomando el límite no relativista al orden sublíder en$1/c$, y produce un término en el hamiltoniano de la forma$H\sim \mathbf L\cdot\mathbf S$, dónde$\mathbf L$y$\mathbf S$son los momentos angulares orbital y de espín del electrón relevante.

Sin embargo, además de (o, principalmente, en lugar de) este enfoque riguroso, la forma del potencial de interacción espín-órbita a menudo se justifica a través de un argumento heurístico, que se ve más o menos de la siguiente manera:

Considere un átomo de hidrógeno, con un electrón zumbando alrededor del núcleo, y transfórmelo en un marco que está fijo en el electrón. Luego, a medida que la trayectoria del electrón orbita alrededor del núcleo, el electrón no solo ve el campo electrostático del protón, sino que también ve una corriente efectiva a medida que el núcleo gira alrededor de él. Esta corriente produce entonces un campo magnético, que interactúa con el dipolo magnético intrínseco del electrón.

Este argumento es obviamente problemático, porque no existe una trayectoria de electrones en la mecánica cuántica, y no existe un "marco montado en electrones"; el cálculo heurístico da (una interpretación razonable para) los resultados correctos, pero no se puede expandir a un argumento que tenga algún sentido.

Como tal, es realmente atractivo tratar de elaborar un argumento heurístico similar que produzca una interacción de la forma$H\sim \mathbf L\cdot\mathbf S$a partir de un análisis que tiene lugar en el marco de reposo del protón, y que no está sujeto a esas desventajas. Esto se explora en una pregunta anterior, ¿ Acoplamiento espín-órbita del marco de reposo del protón? , y probablemente en muchos recursos anteriores, pero todavía tengo que ver que un análisis de este tipo dé resultados satisfactorios.

Mi objetivo aquí es mucho más modesto, con la esperanza de que brinde una mejor oportunidad de obtener una imagen física más clara del acoplamiento espín-órbita.

Consideremos, por tanto, un dipolo magnético clásico$\mathbf m=IA\hat{\mathbf n}$, que consiste en un lazo rígido de área$A$con unidad normal$\hat{\mathbf n}$llevando una corriente$I$, mucho menor que la dependencia espacial de cualquier campo eléctrico o magnético en el problema. La forma del bucle del circuito debe ser irrelevante para los resultados.

Este dipolo está centrado en$\mathbf r_c=\mathbf r_c(t)$, que sigue una trayectoria que ha sido preespecificada con anticipación (puedes pensar que está montada en un riel y empujada por un pequeño motor, aunque luego podríamos resolver para$\mathbf r_c(t)$respondiendo a alguna ecuación de movimiento), y atraviesa una región con un campo eléctrico estático preespecificado$\mathbf E(\mathbf r)$. Como ejemplo arquetípico, piense en una órbita elíptica alrededor del centro de un campo eléctrico de Coulomb.

El grado de libertad de interés es la orientación del dipolo,$\hat{\mathbf n}=\hat{\mathbf n}(t)$, que sigue una trayectoria que, en principio, se especifica de antemano, aunque más adelante podríamos hacer que siga alguna ecuación de movimiento.

A mi pregunta, entonces:

• ¿Cómo se puede derivar, a través de consideraciones exclusivamente sobre el marco de inercia del campo eléctrico inicial, la energía asociada con la orientación de nuestro dipolo magnético clásico? En principio, esto debería producir un acoplamiento espín-órbita de la forma$\mathbf L\cdot \mathbf m$, dónde$\mathbf L$es el momento angular orbital de la trayectoria del dipolo$\mathbf r_c(t)$, pero ¿cómo surge esto de las interacciones de las cargas en movimiento dentro del circuito con el campo eléctrico estático?

Y, finalmente, para que quede claro: sí, este es un modelo terrible para un electrón, porque el dipolo magnético de los electrones no se debe en gran medida a la circulación de la carga eléctrica. Sin embargo, creo que este método de análisis puede proporcionar una analogía separada que, con suerte, puede ser más clara y menos problemática que la heurística habitual de "supongamos que hay un marco de referencia (¿inercial?) Montado en el electrón", es decir, al proporcionar un modelo que también es (en última instancia) incorrecto, pero que es al menos internamente consistente.