Métrica dada geodésica nula

Question

Métrica dada geodésica nula

Hetherson

Necesito (desesperadamente) ayuda con lo siguiente:

¿Cuál es la geodésica nula para el espacio-tiempo?

d s^{2} = - X^{2} d t^{2} + d X^{2} ?

$ds^2=-x^2 dt^2 +dx^2?$

¡No sé cómo transformar una métrica en una geodésica...! No es necesario partir del Lagrangiano. Yo sé eso

0 = {gramo}_{i j} V^{i} V^{j}

$0=g_{ij}V^iV^j$ dónde

V^{i} = \frac{d x^{i}}{d λ}

$V^i={dx^i\over d\lambda}$ dónde

λ

$\lambda$ es algún parámetro. Pero no sé cuál es ese parámetro ni cómo encontrar la geodésica.

¡¡Muchas gracias!! ¡Por favor ayuda!

usuario10851

Una geodésica es solo un tipo especial de curva, y el parámetro es, bueno, solo un parámetro que parametriza esa curva, por lo que no importa en última instancia. Además, las geodésicas solo son únicas si especifica más sobre ellas, como un punto en la curva y una dirección en esa curva. Asegúrese de comprender qué son estos objetos antes de sumergirse en la manipulación de símbolos.

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Métrica dada geodésica nula

Una geodésica es solo un tipo especial de curva, y el parámetro es, bueno, solo un parámetro que parametriza esa curva, por lo que no importa en última instancia. Además, las geodésicas solo son únicas si especifica más sobre ellas, como un punto en la curva y una dirección en esa curva. Asegúrese de comprender qué son estos objetos antes de sumergirse en la manipulación de símbolos.

Jold · Answer 1

Como mencionaste, una geodésica nula implica:

{gramo}_{m v} {tu}^{m} {tu}^{v} = {(\frac{d s}{d λ})}^{2} = 0

$g_{\mu \nu} U^{\mu} U^{\nu}=\left (\frac{ds}{d \lambda} \right )^2=0$

dónde $\lambda$ es algún parámetro afín. Si lo tomas $\lambda=t$ , entonces esto implica:

- X^{2} + {(\frac{d X}{d t})}^{2} = 0

$-x^2+\left ( \frac{dx}{dt} \right )^2=0$

Entonces $~dx/dt=\pm x$ es una geodésica nula. (Tome una segunda derivada para obtener la geodésica real ).

Gracias, elfmotat. ¿Qué quiere decir con la geodésica "real"?
Me refiero a la ecuación diferencial de segundo orden, que se llama "ecuación geodésica".
Hola @Jold, ¿cómo pudiste configurar $\lambda=t$ ? Como sabemos $t$ (Supongo que el tiempo que pasa para un observador que no está en el marco de reposo de la partícula) es un parámetro afín?

jerry schirmer · Answer 2

La forma más fácil de resolver esto es pretender que ES un Lagrangiano:

I = \frac{1}{2} \int d λ (- X^{2} {\dot{t}}^{2} + {\dot{X}}^{2})

$I = \frac{1}{2}\int d\lambda \left(-x^{2}{\dot t}^{2} + {\dot x}^{2}\right)$

donde ambos $t$ y $x$ son funciones de $\lambda$ , y ${\dot x} \equiv \frac{dx}{d\lambda}$ .. Tome la variación de la acción, encuentre el mínimo y luego configure sus constantes para que su geodésica sea nula.

Métrica dada geodésica nula

Hetherson

usuario10851

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