La línea geodésica en el semiplano de Poincaré

Tu dices$C,\lambda$son constantes de integración, pero eso da$\ddot{x}-\lambda\dot{x} = 0$en cambio. Dado que su seguimiento sería inconsistente, asumiré que quiso decir$C,\omega$son constantes de integración.

No debe tener tres componentes en la ecuación geodésica, sino dos:

Les daré una pista adicional para decir que desde el$x$-la coordenada es cíclica,$\dot{x} = Ey^2$por alguna constante$E$. Si no está familiarizado con los campos vectoriales Killing, puede ver esto en las ecuaciones de Euler-Lagrange en$L = \frac{1}{2}g(u,u)$, dónde$u^\mu = (\dot{x},\dot{y})$, que también es una buena manera de encontrar geodésicas.

Aunque lo siguiente no responde directamente a su pregunta (que por supuesto es una solicitud de revisión del método "GR" para calcular geodésicas y que Stan Liou hizo a la perfección ), no puedo resistirme a escribir la siguiente caracterización pequeña y elegante de geodésicas en el plano hiperbólico. Creo que los pensamientos en las siguientes líneas, aunque muy simples y especializados, ayudan a desarrollar una intuición para la geometría hiperbólica y para algunos de los comportamientos básicos del espacio-tiempo con curvatura negativa. Naturalmente, no sustituye al método "GR", ya que es mucho más especializado.

Simplemente esbozaré la prueba, ya que no es tan compacta como recordaba cuando la escribí en su totalidad, pero no obstante es una secuencia de pequeñas joyas: puntos de referencia fáciles de captar, simples y claros que uno puede mantener en la cabeza cuando piensa en este tipo de cosas Si necesita que complete los detalles, naturalmente los agregaré a mi respuesta.

El plano hiperbólico:

está equipado con la métrica hiperbólica definida por:

que es lo mismo que su métrica, aparte de una constante de escala. Uno habitualmente estudia$\mathbb{H}^2$junto con el disco de Poincaré:

esa es la imagen isometrica de$\mathbb{H}^2$bajo la transformación bilineal:

y puede mostrar fácilmente que la métrica en$\mathbb{D}^2$es definido por:

dónde$|\mathrm d\omega|$es la métrica euclidiana cotidiana en$\mathbb{D}^2$.

Obsérvese que las siguientes son claramente isometrías de$\mathbb{H}^2$:

1. "Traducciones laterales", es decir $$T_\lambda(z) = \lambda + z; \,\lambda \in \mathbb{R}\tag{6}$$
2. "Dilataciones", es decir $$D_\rho(z) = \rho\,z;\,\rho\in \mathbb{R},\,\rho>0\tag{7}$$

y también la transformación que corresponde a una rotación por cualquier ángulo$\theta$sobre el origen en el disco$\mathbb{D}^2$, es decir $\omega\mapsto e^{i\theta} \omega$, que corresponde a la transformación bilineal:

porque, de (5), es claramente una isometría en$\mathbb{D}^2$y$\mathbb{D}^2$y$\mathbb{H}^2$son isométricamente equivalentes.

Así que ahora llamamos a lo siguiente:

Teorema (Poincaré) : El grupo$PSL(2, \mathbb{R})$de transformaciones bilineales de la forma:

es precisamente el conjunto de isometrías de$\mathbb{H}^2$; es decir, toda transformación de este tipo es una isometría, y todas las isometrías son de este tipo.$\square$

De hecho, aunque no es relevante aquí,$PSL(2, \mathbb{R})$es también precisamente el grupo de transformaciones conformes de$\mathbb{H}^2$, es decir , todos los mapas de este tipo son conformes, y cualquier biyección globalmente conforme$\mathbb{H}^2\to \mathbb{H}^2$es de este tipo.

Para probar la primera parte, se muestra que todos esos mapas bilineales se pueden descomponer en la siguiente composición de mapas conocidos que preservan la distancia arriba:

Para probar a la inversa, se muestra que cualquier mapa que preserva la distancia está determinado por las imágenes de tres puntos no colineales$A, B, C\in\mathbb{H}^2$porque cualquier otro punto$D\in \mathbb{H}^2$se establece por su distancia desde los puntos de referencia$A, B, C$y sus imágenes.

Ahora uno considera segmentos de línea$PQ$entre cualquier par de puntos$P$y$Q$en el eje imaginario de$\mathbb{H}^2$.

Claramente de (2) para cualquier$C^0$sendero$\Gamma$Entre$P$y$Q$,$ds^\prime \geq ds$cuando proyectamos el camino sobre el eje imaginario como se muestra. Por lo tanto, la geodésica única que une dos puntos en un eje imaginario es simplemente un segmento del eje imaginario entre esos dos puntos.

Entonces no es difícil demostrar que dos puntos cualesquiera$A,B\in\mathbb{H}^2$son las imagenes de dos puntos$P$y$Q$en el eje imaginario bajo un mapeo en el grupo$PSL(2,\mathbb{R})$de isometrías de$\mathbb{H}^2$y este miembro del grupo está definido únicamente por$A$y$B$.

Por tanto, por el teorema de Poincaré, la imagen del segmento de recta$PQ$a lo largo del eje imaginario definido por este mapa único es la geodésica única entre$A$y$B$. Dado que las transformaciones bilineales asignan círculos a círculos ( es decir , "círculo" como se define en el espacio euclidiano habitual), la geodésica entre$A$y$B$es el arco de un círculo euclidiano. De hecho , es el arco entre los dos puntos del círculo euclidiano único que pasa por$A$y$B$con su centro en el eje real.

¡Así podrás encontrar las geodésicas que necesitas!

Solo una nota, el mapa$z\mapsto -\overline{z}$es también una isometría del modelo del semiplano superior, por lo que la declaración anterior sobre el grupo de isometrías de$\mathbb{H}^2$siendo$PSL_2(\mathbb{R})$no es del todo correcto: estas son precisamente las isometrías que preservan la orientación (de hecho, son las únicas conformes / holomorfas). Uno necesita mirar al grupo más grande.$PSL^+_2(\mathbb{R})$que también incluye isometrías de la forma$\frac{a\overline{z}+b}{c\overline{z}+d}$dónde$a,b,c,d\in\mathbb{R}$y$ad-bc=-1$; claramente$PSL_2(\mathbb{R})$es un subgrupo índice dos de$Isom(\mathbb{H}^2)=PSL^+_2(\mathbb{R})$.