Mensurabilidad de Borel

(Mensurabilidad de Borel) Una función$f$se dice que es {\bf Borel mensurable} siempre que su dominio$E$es un conjunto de Borel y para cada$c$, el conjunto$\{x \in E| f(x)>c\}$es un conjunto de Borel. Muestra esa

(yo) si$f$y$g$son Borel medibles por lo que son$af+bg$y$fg$dónde$a,b \in \mathbb{R}$.

(ii) toda función medible de Borel es medible de Lebesgue.

(ii) si$f$es Borel medible y$B$es un conjunto de Borel entonces$f^{-1}(B)$es un conjunto de Borel.

(iii) si$f$y$g$son Borel medibles entonces$f \circ g$es Borel medible.

(iv) si$f$es Borel medible y$g$es Lebesgue medible entonces$f \circ g$es Lebesgue medible.

Pruebas:

(i) Si$a$o$b$es$0$, entonces esto es trivial. Si$a,b \in \mathbb{R}^{+}$, podemos escribir

$$\{x: af+bg(x) > c\} = \bigcup_{\substack{s,r \in \mathbb{Q}^{+} \\ s\leq a, r \leq b }} \bigcup_{\substack{m,n \in \mathbb{Q} \\ m+n \leq c}} \{x: sf(x) > m \} \cap \{x : rg(x) > n \},$$

que es medible. Ahora, los otros casos de$a,b \in \mathbb{R}^-$,$a \in \mathbb{R}^+, b \in \mathbb{R}^-$, y$a \in \mathbb{R}^-, b \in \mathbb{R}^+$se manejan de manera similar.

Para$fg$, podemos escribir

$$\begin{align*} \{x : fg(x) > c\} &= \left( \bigcup_{\substack{a,b \in \mathbb{Q}^+\\ ab \geq c}} \{x: f(x) > a \} \cap \{x : g(x) > b\} \right) \cup \left( \bigcup_{\substack{a \in \mathbb{Q}^-\\ b \in \mathbb{Q}^+ \\ ab \geq c}} \{x: f(x) < a \} \cap \{x : g(x) > b\} \right) \\ & \cup \left( \bigcup_{\substack{a \in \mathbb{Q}^+\\ b \in \mathbb{Q}^- \\ ab \geq c}} \{x: f(x) > a \} \cap \{x : g(x) < b\} \right) \cup \left( \bigcup_{\substack{a,b \in \mathbb{Q}^-\\ ab \geq c}} \{x: f(x) < a \} \cap \{x : g(x) < b\} \right) \end{align*}$$

entonces$fg$es medible.

(ii) Todo conjunto medible de Borel es medible de Lebesgue, ya que si$B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, entonces$B$es lo mismo que un conjunto medible de Lebesgue excepto posiblemente en un conjunto de medida$0$.

(iii) Suponiendo$f: (X,\mathcal{T}) \to (\mathbb{R},\mathcal{U})$con$(X,\mathcal{T})$un espacio topológico general, y$\mathcal{U}$la topología estándar en$\mathbb{R}$, por definición, cualquier conjunto de Borel$B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$es el resultado de operaciones de conjuntos contables en un conjunto abierto. Ahora, dado$f^{-1}((c,\infty)) \in \mathcal{B}(X)$, cualquier conjunto abierto puede escribirse en términos de estos rayos abiertos, y cualquier conjunto de Borel en$\mathbb{R}$puede escribirse en términos de estos conjuntos abiertos. Ergo, la imagen inversa de un Borel Ambientado en$\mathbb{R}$es el conjunto contable resultado teórico de operaciones en$f^{-1}((c,\infty))$, que es de nuevo un Conjunto de Borel, ya que$\mathcal{B}(X)$es un$\sigma$-álgebra.

(iii) Asumir$g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$y$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Entonces,$(f \circ g)^{-1} ((c,\infty)) = g^{-1} \circ f^{-1} ((c,\infty))$. Por hipótesis,$f^{-1} ((c,\infty)) = B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Por definición de Borel Sets, cualquier miembro de$\mathcal{B}(\mathbb{R})$es el resultado de operaciones de conjuntos contables en un miembro de la topología en$\mathbb{R}$. Cualquier miembro de la topología en$\mathbb{R}$puede escribirse como el resultado contable de operaciones de conjunto en$(a,\infty)$para algunos$a \in \mathbb{R}$, entonces$g^{-1} (B) \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, entonces$f \circ g$es Borel medible.

(iv) ¿No veo qué hay que probar aquí? ¿No es exactamente el mismo argumento que (iii) con un simple reemplazo de terminología?

¿Son correctas las demostraciones anteriores? ¿Cuál es exactamente el propósito de (iv)?