El sup de una integral tiende a cero

Considere un espacio completo de medida finita$(X, \mathcal{M}, \mu)$. Dejar$\{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^1(\mu)$Sea una sucesión tal que$\sup_n\int|f_n|\,d\mu< \infty$. Además, suponga que por cada$\varepsilon>0$existe$\delta>0$tal que$\int_{E}|f_n|\,d\mu< \varepsilon$cuando sea$\mu(E)< \delta$. Quiero mostrar lo siguiente:

$$(a)\text{ } \sup_n \int_{\{|f_n|\geq M\}} |f_n|\,d\mu \to 0\text{ as }M \to \infty.$$ $$(b)\text{ }\sup_n \int_{\{|f_n|\leq \delta\}} |f_n|\,d\mu \to 0\text{ as }\delta \to 0.$$ Tengo la siguiente prueba para (a):

Dejar$E=\{x\in X:|f_n(x)|\geq M\}$. Por la desigualdad de Chebyshev,

$$\mu(E)\leq \frac {1}{M} \int_{X} |f_{n}|\, d\mu\text{ }\forall n\in \mathbb {N}.$$ Desde$\mu(E)\to 0$como$M\to \infty$,$\forall \delta>0$,$\mu(E)<\delta$y por lo tanto, $$\int_{E}|f_{n}|\, d\mu<\varepsilon.$$ Ya que esto es cierto para todos$\varepsilon>0$y$n\in \mathbb {N}$, $$\int_{E}|f_{n}|\, d\mu=\int_{\{|f_n|\geq M\}} |f_n|\,d\mu \to 0\text{ as }M \to \infty.$$ Tomando el supremo del lado izquierdo, obtenemos $$\sup_{n}\int_{\{|f_n|\geq M\}} |f_n|\,d\mu \to 0\text{ as }M \to \infty.$$ Me pregunto si mi prueba es correcta, y para (b), me pregunto cómo demostrar que la medida del conjunto$\{|f_n|\leq \delta\}$es pequeño para que un argumento similar se pueda enunciar como en (a)?