Encuentre para el límite superior dado, épsilon.

Necesito ayuda para examinar mis respuestas a las preguntas 3,4,5 en la sección 2.2.2 del cap. 2 (página 7) en el libro de la serie CRM de MAA: Exploratory Examples for Real Analysis, por Joanne E. Snow, Kirk E. Weller. Además, esta publicación es una continuación de la pregunta de mi última publicación .

3. Para cada conjunto en la Tabla 2.2, seleccione un límite superior$u$es decir, no es igual al supremo. Ingrese este valor en la columna 2. Para cada$\epsilon$dado en las columnas 3, 4 y 5, determine si hay elementos del conjunto que caen en el intervalo semiabierto$(u - \epsilon, u]$. Si es así, ingrese 'sí' en la celda apropiada de la tabla y luego describa todos los elementos del conjunto que satisfacen esta condición. Si no existen tales elementos, ingrese "no" en la tabla y proporcione una explicación de por qué este podría ser el caso.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|} Set & \text{$u$} & \text{$\epsilon=.5$} & \text{$\epsilon=.1$} & \text{$\epsilon=.05$} & \text{$Q\, 4$} \\ \hline S_2 = \{x\in \mathbb{R}: 0\le x \lt 1 \} & 1.001 & (.501,1] & (0.901,1] & (0.951,1] & Yes \\ & & & & &(\forall u | u-s \ge \epsilon) \\ \hline S_3 = \{(-1)^n(2+\frac 1n)\,: n\in \mathbb{N}\} & 2.51 & \{2.01,\cdots,2.5\} & \{2.5\} & \{2.5\} & --do--\\ \hline S_4 = \{arctan(x)\,: x\in \mathbb{R}\} & \frac \pi{2} + 0.1 & (\frac \pi{2} - 0.4, \frac \pi{2}) & no & no & --do-- \\ \hline S_5 = \{(-1)^n\,: n\in \mathbb{N}\} & 1.2 & \{1\} & no & no & --do-- \\ \hline \end{array}$$

Las columnas debajo$\epsilon=0.5, 0.1, 0.05$Los encabezados se encuentran a continuación:

$S_2 = \{x\in \mathbb{R}: 0\le x \lt 1 \}$:$s=1$, dejar$u=1.001$.

>$\epsilon=.5$: El intervalo deseado es$(.501,1.001]$. Los elementos del conjunto$S_1$en el intervalo están en$(.501,1.001]\cap S_1 = (.501,1)$.

>$\epsilon=.1$: El intervalo deseado es$(.901,1.001]$. Los elementos del conjunto$S_1$en el intervalo están en$(.901,1.001]\cap S_1 = (.901,1)$.

>$\epsilon=.05$: El intervalo deseado es$(.951,1.001]$. Los elementos del conjunto$S_1$en el intervalo están en$(.951,1.001]\cap S_1 = (.951,1)$.

$S_3 = \{(-1)^n(2+\frac 1n)\,: n\in \mathbb{N}\}$:$s=2.5$, dejar$u = 2.51$.

Como se muestra en mi última publicación ,$S_3=\{-3,-2.\overline{33},-2.2, -2.\overline{2.142857}, -2.\overline{1}, \cdots,2.25,2.1\overline{6},2.125,2.5\}$.
>$\epsilon=.5$: Quiere obtener el primer término de la serie para el que obtiene valor$\ge 2.01$. Comprobará si obtiene un elemento del$S_3$en el límite inferior del intervalo.

$2.01 = 2 + \frac 1n\implies .01n=1\implies n = 100$
Poniendo$n=100$, en$(-1)^n(2+\frac 1n)$conseguir$(-1)^{100}(2+\frac 1{100})\implies \frac {201}{100}= 2.01$.
Por lo tanto, el conjunto tiene un elemento en el límite inferior, pero no se incluye allí como límite abierto.

>$\epsilon=.1$: Quiere obtener el primer término de la serie para el que obtiene valor$\ge 2.41$.

$2.41 = 2 + \frac 1n\implies .41n=1\implies n = \frac{100}{41} \approx 2.43$.
Redondeando, obtenga el más cercano$n=2$.
$n=2$es para supremo$=2.5 \gt 2.43$.
Por lo tanto, sólo un elemento$s$está ahí.

>$\epsilon=.05$: Quiere obtener el primer término de la serie para el que obtiene valor$\ge 2.46$.

$2.46 = 2 + \frac 1n\implies .46n=1\implies n = \frac{100}{46} \approx 2.17$.
Redondeando, obtenga el más cercano$n=2$.
$n=2$es para supremo$=2.5 \gt 2.43$.
Por lo tanto, sólo un elemento$s$está ahí.

$S_4 = \{arctan(x)\,: x\in \mathbb{R}\}$:

Dejar,$u=\frac \pi{2} + 0.001$.
Nota: El valor supremo ($s$) es una cantidad irracional. Sin embargo, se supone que se alcanza para$x\rightarrow \infty$. Para valores medibles de$x$,$s$no se alcanza.

>$\epsilon=.5$: El rango de intervalo es:$((\frac{\pi}2-0.4), \frac{\pi}2]$. El supremo no está en el rango, pero cualquier valor por debajo$s$debiera ser. También, tomando$\tan((\frac \pi{2}+0.1) - 0.4 \approx 1.1707963267948966192313216916398)$obtener la medida como$49.49871336^o$. Entonces, todos los reales en el intervalo$((\frac{\pi}2-0.4), \frac{\pi}2)$hay.

>$\epsilon=.1$: El rango de intervalo es:$(\frac{\pi}2, \frac{\pi}2+0.1]$. Debido a que el supremo no está en el rango, ningún elemento del conjunto$S_4$en el intervalo.
Tenga en cuenta que$\epsilon (=.1)$es igual a la diferencia entre$u,s$, es decir$u-s=0.1$.

>$\epsilon=.05$: El rango de intervalo es:$(\frac{\pi}2+0.1 -\epsilon (=.05), \frac{\pi}2+0.1]$. Pero, el límite inferior es más grande que$s$, lo que lleva a ningún elemento del conjunto$S_4$en el intervalo.

$S_5 = \{(-1)^n\,: n\in \mathbb{N}\}$:

$s = 1$, dejar$u=1.2$.

>$\epsilon=.5$: El rango de intervalo es:$(0.7, 2]$. Los valores de set en el intervalo son$\{1\}$.

>$\epsilon=.1$: El rango de intervalo es:$(1.1, 2]$, es decir, ningún valor del conjunto se encuentra en el intervalo.

>$\epsilon=.05$: El rango de intervalo es:$(1.05, 2]$, es decir, ningún valor del conjunto se encuentra en el intervalo.

4. Para cualquier límite superior$u$que no es el supremo, ¿parece posible, con base en los datos de la tabla 2.2, encontrar un$\epsilon\gt 0$para el cual ningún elemento del conjunto dado se encuentra en$(u - \epsilon, u]$? Si es así, ingrese sí en la columna 6 (bajo$Q 2$) y describir todos esos$\epsilon$. Si no, ingrese no en la columna 6. En cualquier caso, explique sus resultados.

Si si$u-s \ge \epsilon$, entonces ningún elemento del conjunto está en el intervalo deseado, ya que incluso el supremo (incluso, si está en el rango) no estará en el límite inferior abierto.

5. Compare y contraste sus hallazgos para el supremo y un límite superior elegido arbitrariamente. En particular, ¿parece haber una diferencia en el comportamiento entre el supremo y un límite superior elegido arbitrariamente, en lo que respecta a la cuestión de si podemos encontrar elementos del conjunto$S_i\,(i=2,3,4,5)$en el intervalo$(s - \epsilon, s]$por cualquier valor de$\epsilon \gt 0$?

El valor de$\epsilon$no era tan importante en el caso de encontrar algún elemento del respectivo conjunto$S_i\,(i=2,3,4,5)$en el intervalo$(s-\epsilon, s]$, como$\epsilon\gt 0$; lo que lleva siempre a obtener, al menos algún valor, en el peor de los casos, el supremo no está en el conjunto y hay valores discretos en el rango.
Pero, ahora necesita$u-s\lt \epsilon$imprescindible para tener cualquier elemento en los conjuntos en el intervalo$(u-\epsilon, u]$.

Consideremos todos los conjuntos a continuación para mostrar el último caso:

$S_2 = \{x\in \mathbb{R}: 0\le x \lt 1 \}$:

Si$u-s \ge \epsilon$, saya s$s=1$, si$u=s+1, \epsilon=0.1$, entonces ningún elemento de$S_2$está en el intervalo$(1.9,2]$.

$S_3 = \{(-1)^n(2+\frac 1n)\,: n\in \mathbb{N}\}$:

Como se muestra en mi última publicación ,$S_3=\{-3,-2.\overline{33},-2.2, -2.\overline{2.142857}, -2.\overline{1}, \cdots,2.25,2.1\overline{6},2.125,2.5\}$.
Si$u-s \ge \epsilon$, saya s$s=2.5$, si$u = 2.9, \epsilon = 0.1$, entonces ningún elemento de$S_3$está en el intervalo.
También si$u-s \lt \epsilon$, saya s$s=2.5$, entonces es posible tener elementos del conjunto en el intervalo. di, si$u = 2.625, \epsilon = 0.5$, entonces el elemento de$S_3$en el intervalo están en conjunto$\{2.125,2.5\}$.

$S_4 = \{arctan(x)\,: x\in \mathbb{R}\}$:

Dejar$u=\frac \pi{2} + k.\epsilon, k\gt 1$. Aquí, ningún valor de conjunto está en el intervalo$(\frac \pi{2} + (k-1).\epsilon, \frac \pi{2} + k.\epsilon]$.

$S_5 = \{(-1)^n\,: n\in \mathbb{N}\}$:

Dejar$u=1+ k.\epsilon, k\gt 1$. Aquí, ningún valor de conjunto está en el intervalo$(1 + (k-1).\epsilon, 1+k.\epsilon]$.