Medida de la integral de trayectoria de Feynman

Question

Medida de la integral de trayectoria de Feynman

Física
integral de trayectoria
mecánica cuántica
física-matemática
teoría cuántica de campos
procesos estocásticos

aitfel

La integral de trayectoria de Feynman para el caso no relativista se define como:

\int D [X (t)] {mi}^{i S / ℏ}

$\int\mathcal{D}[x(t)]e^{iS/\hbar}$ dónde

\int D [X (t)] = \underset{norte \to \infty}{límite} Π_{i = 0}^{i = norte} (\int_{- \infty}^{\infty} d X_{i})

$\int \mathcal{D[x(t)]}=\lim_{N\rightarrow\infty}\Pi_{i=0}^{i=N}\bigg(\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x_{i}\bigg)$

En el curso y los libros, me he encontrado al estudiar la integral de trayectoria, se introduce el término " medida " sin ninguna noción previa. La mejor intuición que tengo sobre la medida es que es como un peso que le asignas a cada término de la serie que estás sumando (solo entiendo la integral de Riemann, así que me inclino hacia la idea de área, solo un poco de generalización).

Además, mientras estudiaba un poco sobre el movimiento browniano, me encontré con el proceso de Wiener, la integral (propagador) utilizada allí es casi idéntica a la de Feynman, la $i$ es reemplazado por $-1$ pero no pude entender mucho al respecto porque la discusión se basó en el teorema del límite central y la medida de Lebesgue. Pero lo que recuerdo que me causa dolor de cabeza es que, si bien las integrales de Wiener son convergentes, las integrales de Feynman no lo son (la explicación que encontré al respecto es que se debe al comportamiento oscilatorio del factor, $e^{iS/\hbar}$ . Las integrales son condicionalmente convergentes, mientras que en el caso de Wiener tenemos función decreciente $e^{-S}$ y esa es la razón por la que vamos por $-i\epsilon$ prescripción).

Como habrás notado en la explicación anterior, el factor exponencial se junta con el $\mathcal{D}$ factor a comparar con las integrales de Wiener . asi es la medida $M$ , igual a $\color{red}{\mathcal{D}[x(t)]e^{iS/\hbar}}$ y las integrales de Feynman son de la forma $\int M f(x(t))$ ? La gente también dice que hay integrales de ruta de Feynman que no usan la medida de Wiener, pero nunca las he visto. ¿Existen en la literatura?

Cuando los libros hacen la transición de una partícula QM a QFT, los autores simplemente afirman que el propagador viene dado por

\int D [ϕ (X)] {mi}^{i S / ℏ}

$\int\mathcal{D}[\phi(x)]e^{iS/\hbar}$ sin definición de

D [ϕ (x)]

$\mathcal{D}[\phi(x)]$ .

he escuchado eso $\mathcal{D}[\phi(x)]$ puede definirse en términos de $a$ , $a^{\dagger}$ (operador de aniquilación y creación) y esto lo ha hecho Ludvig Faddeev pero no pudo encontrarlo.

probablemente_alguien

En mi curso de QFT, esto se reconoció explícitamente como un área de investigación activa: descubrir qué queremos decir exactamente con "medida", en un sentido matemático riguroso, es algo que parece ser un trabajo en progreso. Puedo estar equivocado, pero esa fue mi impresión.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/1894/2451 , physics.stackexchange.com/q/6530/2451 , physics.stackexchange.com/q/27665/2451 y sus enlaces.

Respuestas (1)

Medida de la integral de trayectoria de Feynman

En mi curso de QFT, esto se reconoció explícitamente como un área de investigación activa: descubrir qué queremos decir exactamente con "medida", en un sentido matemático riguroso, es algo que parece ser un trabajo en progreso. Puedo estar equivocado, pero esa fue mi impresión.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/1894/2451 , physics.stackexchange.com/q/6530/2451 , physics.stackexchange.com/q/27665/2451 y sus enlaces.

m93a · Answer 1

Los resultados de esta respuesta se toman directamente de Blank, Exner y Havlíček: operadores espaciales de Hilbert en física cuántica. Mira allí para más detalles.

Al menos en QM no relativista, la integral de ruta se deriva/define utilizando el procedimiento de limitación de "tomar una división de tiempo cada vez más fina" de la ruta. La fórmula precisa para un sistema de $M$ partículas es:

\begin{aligned} tu (t) ψ (X) \\ = \underset{norte \to \infty}{límite} \prod_{k = 1}^{METRO} (\frac{{metro}_{k} norte}{2 π i t})^{norte / 2} \underset{j_{1}, . . . j_{norte} \to \infty}{límite} \int_{B_{j_{1}} \times . . . \times B_{j_{norte}}} Exp (i S (X_{1}, . . . X_{norte})) ψ (X_{1}) d X_{1} . . . d X_{norte - 1} \\ =: \int Exp (i S [X]) D X \end{aligned}

$\begin{align} &U(t) \, \psi(x) \\ &= \lim_{N\to\infty} \; \prod_{k=1}^M \; \Big( \frac{m_k \, N}{2\pi\mathrm{i} \, t} \Big)^{N/2} \hspace{-0.2em} \lim_{j_1, ... j_N \to \infty} \; \int_{B_{j_1}\!\times...\times B_{j_N}} \hspace{-3em} \exp(\mathrm{i} \, S(x_1, ...x_N)) \; \psi(x_1) \; \mathrm{d}x_1 \, ... \, \mathrm{d}x_{N-1} \\ &=: \int\exp(\mathrm{i} \, S[x]) \; \mathcal{D}x \, \end{align}$ dónde

S [x]

$S[x]$ es la acción clásica sobre el camino

x

$x$ y

S (x_{1}, . . . x_{N}) := S [γ]

$S(x_1,...x_N) := S[\gamma]$ es la misma acción realizada sobre una línea poligonal

γ

$\gamma$ , tal que

γ (t_{i}) = x_{i}

$\gamma(t_i) = x_i$ son los vértices. (En realidad, no se garantiza que la expresión anterior converja a

U (t) ψ (x)

$U(t)\psi(x)$ para cada

S

$S$ , pero lo hace para una gran clase de ellos.)

Tenga en cuenta que específicamente para la parte cinética de $S = \int_0^t (\frac{1}{2} \sum_i m_i \dot x^2_i(t') + V(x(t') ) \, \mathrm{d}t'$ tenemos:

\int_{0}^{t} \dot{γ} (t_{1}, . . . t_{norte}) = \sum_{k = 0}^{norte} | X_{k + 1} - X_{k} |^{2}

$\int_0^t \dot{\gamma}(t_1, ... t_N) = \sum_{k=0}^N \big| x_{k+1} - x_k \big|^2$

A partir de esta definición, no está claro si $\mathcal{D} x$ es en realidad una medida, o no, así que comparemos la integral con la integral de Wiener, una integral sobre los procesos de Wiener con desviación $\sigma\in\mathbb{R}$ , que en realidad tiene una medida adecuada, $w_\sigma$ . Deja un funcional $F[x]$ en los procesos de Wiener dependen sólo de un número finito de puntos de $x$ . Tal funcional se llama cilíndrico y es similar en espíritu a nuestra acción. $S(x_1,...x_N)$ en una línea poligonal. Entonces obtenemos:

\begin{aligned} \int F [X] d w_{σ} \\ = \prod_{k = 0}^{norte - 1} (\frac{norte}{2 π i t})^{- norte / 2} \int_{R^{norte norte}} Exp (\frac{- 1}{2 σ} \sum_{k = 0}^{norte - 1} | X_{k + 1} - X_{k} |^{2} \frac{t}{norte}) F (X_{1}, . . . X_{norte - 1}) d X_{1} . . . d X_{norte - 1} \end{aligned}

$\begin{align} &\int F[x] \, \mathrm{d}w_\sigma\\ &= \prod_{k=0}^{N-1} \Big( \frac{N}{2\pi \mathrm{i} \, t} \Big)^{\!-N/2} \!\! \int_{\mathbb{R}^{nN}} \hspace{-1em} \exp\big( \frac{-1}{2\sigma} \sum_{k=0}^{N-1} \big| x_{k+1} - x_k \big|^2 \, \frac{t}{N} \big) \, F(x_1, ... x_{N-1}) \, \mathrm{d}x_1 \, ... \, \mathrm{d}x_{N-1} \end{align}$ Uno puede verificar eso eligiendo formalmente

m_{1} = . . . = m_{M} = i / σ

$m_1=...=m_M=\mathrm{i}/\sigma$ , llegamos a la definición de la integral de trayectoria. Sin embargo, la medida de Wiener

w_{σ}

$w_\sigma$ solo se define de verdad

σ

$\sigma$ – la pregunta es entonces, ¿se puede generalizar?

Sorprendentemente, la respuesta es negativa. Citando el teorema de Cameron (nuevamente del libro de Blank, Exner, Havlíček):

Dejar $\sigma$ ser un número complejo distinto de cero, $\operatorname{Re} \sigma \ge 0$ . Medida compleja afinita $w_\sigma$ tal que la relación anterior se cumple para cualquier función de Borel $F$ de los procesos Wiener a $\mathbb{C}$ , que es cilíndrico y acotado, existe iff $\sigma \in (0,\infty)$ .

Este resultado se toma como prueba de que no existe una medida adecuada para la integral de trayectoria de Feynman . En su lugar, podemos elegir uno de varios enfoques diferentes. Aparte de usar la definición que usamos, también se puede calcular la integral de Wiener, parametrizada por $\sigma\in\mathbb{R}$ , y luego hacer una continuación analítica a $\mathbb{C}$ . Otro enfoque posible es utilizar integrales de Fresnel generalizadas.

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m93a

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