Intuición para integrales de trayectoria y cómo evaluarlas

Su intuición física es correcta, de hecho es la suma de todos los caminos admisibles.

Hay un problema con la visualización.$Dx(t)$como una medida en el espacio de funciones, porque no está bien definido (por ejemplo, infinito en algunos 'puntos'$x(t)$). Este es uno de los grandes (y hasta donde yo sé problemas abiertos) en la formulación matemática de las integrales de trayectoria. A menudo, uno absorbe la parte cinética del hamiltoniano en la medida para obtener un factor de descarga exponencial, por ejemplo$D x(t) exp(-\frac{i}{\hbar} \int T[x(t)]$. Salmhofer considera en Renormalización: una introducción muchas de las cuestiones matemáticas. (Si conoce otras buenas fuentes, ¡me encantaría saber de ellas!)

Las integrales de ruta son una buena manera de 'visualizar' muchos cálculos (p. ej., 'Sumo xyz sobre todas las rutas posibles), pero son difíciles de calcular. De hecho, los únicos cálculos que conozco se basan en dividir el camino en segmentos lineales (e incluso esto se vuelve torpe). A menudo, uno realiza algún tipo de expansión de Taylor y solo considera los primeros órdenes. Luego hay reglas sobre cómo calcular términos que se repiten a menudo (ver diagramas de Feymann).

En lo que respecta a la interpretación intuitiva de las integrales de trayectoria (realmente no tengo experiencia resolviéndolas, así que no puedo decirte cómo calcularlas), la suma formal de todas las trayectorias posibles que conectan$x_a$y$x_b$es correcto. De hecho, fue la idea original de Feynman considerar una partícula que recorría todas las trayectorias posibles y sumaba sus amplitudes.

Si tiene problemas con esta idea, considere un experimento de doble rendija. Aquí, tiene dos formas posibles de llegar de la fuente al detector, ya sea a través de la primera rendija o a través de la segunda. De este modo, la integración se reemplaza efectivamente por una suma de dos caminos, pero el principio sigue siendo el mismo.

A continuación, todas las integrales se realizan sobre toda la línea real. La única que puedo dar una explicación en profundidad, en términos de cálculo, es la partícula libre.

$$U(x,t;x_0) = <x|U(t)|x_0> = \int dp <x|e^{-ip^2/2m\hbar}|P><P|x_0>$$ donde el $P$es un estado propio de impulso y la notación de Dirac indica un salto desde $x_0$dentro $P$sobre el que actúa el operador de evolución temporal $U(t)$para terminar en $x$. El método de solución más simple y más fácil de generalizar es con una función Delta de Dirac $\delta(x-x_0)$. Para ver por qué considerar la transformada de Fourier: $$F(\delta(x-x_0)) =\int \frac{dk}{2\pi} e^{ik(x-x_0)}$$ Lo cual se deriva de la propiedad definitoria de Dirac Delta como una distribución. Para continuar, inserte un conjunto (completo) de estados propios de impulso de la siguiente manera: $$\int dp <x|P>...<P|x_0>$$ $$= \hbar \int dk <x|k=p/\hbar><k=p/\hbar|x_0>$$ Por la relación de de Broglie $p=\hbar k$. Entonces podemos concluir que, por inspección de la identidad de Dirac Delta y nuestra versión en el espacio de posición, que $$<x|k><k|x_0> = \frac{1}{2\pi\hbar} e^{ik(x-x_0)}$$ $$<x|k=p/\hbar|x_0> = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int e^{ipx/\hbar} = <x|P>$$ Por lo tanto, podemos reformular nuestra integral original como un producto de gaussianas: $$U(x,t;x_0) = \frac{1}{2\pi\hbar} \int dp e^{ip(x-x_0)/\hbar} e^{-ip^2/2m\hbar}$$ Completando el cuadrado en el exponente obtenemos: $$\frac{1}{2\pi\hbar} \int exp(\frac{-it}{2m\hbar}(p-\frac{m(x-x_0)}{t})^2)exp(im(x-x_0)^2/2\hbar t)$$ (Tenga en cuenta que la segunda exponencial NO está integrada) Lo que equivale, según la integral gaussiana estándar: $$\frac{1}{2\pi\hbar}\sqrt{\frac{( 2m\hbar\pi}{it}} e^{im(x-x_0)^2/2\hbar t}$$ Combinando fracciones obtenemos el resultado de libro de texto: $$\sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar it}} e^{im(x-x_0)^2/2 \hbar t}$$ Más información sobre la fórmula para $<x|P>$se puede encontrar en Sakurai Modern Quantum Mechanics 2nd Edition pp. 52-54.