Sobre una definición rigurosa de la integral funcional de Feynman...

La definición que está usando en su pregunta es la que usan todos los que hacen una renormalización perturbativa rigurosa. La elección particular del método BPHZ vs. Epstein-Glaser, etc. no importa. Ambos te dan el renormalizado$n$Las funciones de correlación de puntos como series de potencias formales en$\hbar$(un poco más canónico) o la constante de acoplamiento renormalizada$g_{\rm R}$. Ahora el problema es que un instrumento de medición generalmente devuelve valores numéricos en lugar de elementos de$\mathbb{R}[[g]]$. Además, las probabilidades de transición cuántica deben ser positivas. ¿Cómo expresaría la unitaridad de una QFT si todo lo que tiene son series de potencias formales? Es deseable tener una construcción rigurosa de la$G(x_1,\ldots,x_n)$como distribuciones honestas en lugar de series formales de potencia con coeficientes de distribución. Este es el trabajo de la teoría cuántica de campos constructiva.

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Edite según el comentario de AFT: no creo que sea tan fácil definir la positividad para las series de potencias formales, por ejemplo, imponiéndolas orden por orden. Aunque debo decir que no pensé mucho sobre el tema, por lo que algunos podrían tener mejores ideas al respecto. Si miro la serie de potencia formal

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\hbar)^n}{n!}\ \in\ \mathbb{R}[[\hbar]]\ ,$$ Realmente no puedo decir que sea positivo, a menos que lo resuma en $e^{-\hbar}$. Este quizás ni siquiera sea un buen ejemplo, ya que al menos esta serie converge. Se espera que la serie de perturbaciones en QFT tenga un radio de convergencia cero y el término general oscila enormemente en signo y magnitud. Un mejor ejemplo es de dimensión cero. $\phi^4$teoría: $$Z(g)=\int_{\mathbb{R}} e^{-\phi^2-g\phi^4} d\phi$$ que está perfectamente bien definida y no es negativa para $g\ge 0$. La serie correspondiente en $\mathbb{R}[[g]]$es $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-g)^n}{n!}\int_{\mathbb{R}} \phi^{4n}e^{-\phi^2} d\phi =\sum_{n=0}^{\infty} (-g)^n\ \frac{\Gamma\left(2n+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(n+1)}\ .$$ Además, ¿qué se entendería por positividad? : P1) positividad para todos los valores del parámetro $g$o $\hbar$, P2) positividad para un valor específico como $\hbar=1.05457\times 10^{-34}$, o P3) positividad para valores pequeños? Para P1, imponer positividad orden por orden, por ejemplo, truncando la serie en algún $n$es muy malo. Para $n$impar, se tiene un polinomio de grado impar que tomará valores negativos. Creo que P1 y P2 requieren un procedimiento de suma, es decir, pasar de $\mathbb{R}[[g]]$a $\mathbb{R}$. Se podría definir P3 simplemente como la positividad del término de orden cero, pero esto parece demasiado burdo.

Finalmente, tenga en cuenta que ha habido un trabajo reciente sobre la violación de la unitaridad en QFT en dimensión no entera (ver este artículo ). No lo miré, pero sospecho que deben haber abordado este problema de positividad de alguna manera.