Medición en estado de superposición general

Question

Medición en estado de superposición general

gato gato

Estado general de superposición (el $u_n (x)$ son la parte espacial de las funciones propias de energía):

ψ (X, t) = \sum_{norte = 1}^{\infty} C_{norte} ψ_{norte} (X, t) = \sum_{norte = 1}^{\infty} C_{norte} {tu}_{norte} (X) Exp (- \frac{i {mi}_{norte} t}{ℏ})

$\psi(x,t)=\sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n(x,t) =\sum_{n=1}^\infty c_n u_n(x) \exp⁡\left(-\frac{iE_n t}{\hbar}\right)$

Los coeficientes de expansión $c_n$ son constantes (complejas)

Si se hace una medición:

Cuando una medida de algún observable $O$ ocurre, la función de onda $\psi=\sum_nc_n \psi_n$ (dónde $\psi_n$ son las funciones propias con respecto a $\hat{O}$ ) se proyecta sobre uno de los diversos resultados de medición posibles, con una probabilidad de proyección dada por $|c_n |^2$ .

Sin embargo, considere el ejemplo de una partícula en un estado de superposición del cuadrado infinito 1D bien descrito por una combinación igualmente ponderada del suelo y el primer estado:

ψ (X, t) = \frac{1}{\sqrt{2}} [{tu}_{1} (X) Exp (- \frac{i {mi}_{1} t}{ℏ}) + {tu}_{2} (X) Exp (- \frac{i {mi}_{2} t}{ℏ})]

$\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[ u_1(x) \exp⁡\left(-\frac{iE_1 t}{\hbar}\right)+u_2(x) \exp⁡\left(-\frac{iE_2 t}{\hbar}\right) \right]$

La densidad de probabilidad cambia con el tiempo:

| ψ (X, t) |^{2} = \frac{1}{2} {tu}_{1}^{2} (X) + \frac{1}{2} {tu}_{2}^{2} (X) + {tu}_{1} (X) {tu}_{2} (X) porque (\frac{({mi}_{2} - {mi}_{1}) t}{ℏ})

$|\psi(x,t)|^2=\frac{1}{2} u_1^2 (x)+ \frac{1}{2} u_2^2 (x)+u_1 (x) u_2 (x)\cos\left(\frac{(E_2-E_1)t}{\hbar}\right)$

¿Cómo son ambas verdad? Desde $|c_n|^2$ es constante pero $|\psi(x,t)|^2$ no es y representan las mismas cosas (creo??)

hans wurst

La fase relativa de los estados propios de energía que contribuyen es importante para la evolución temporal. Los cuadrados de magnitud simple de los coeficientes no contienen esa información. Un objeto que tenga la información equivalente sería un vector con todos los coeficientes complejos o una matriz de densidad. Por ejemplo, no podría decidir si el término oscilante en su ejemplo es un seno o un coseno (o cualquier cosa intermedia determinada por la fase relativa de los coeficientes), si solo le dieran los coeficientes al cuadrado.

hans wurst

También tenga en cuenta que el

c_{n}

$c_n$ en la cotización puede ser diferente de los coeficientes de expansión con respecto a los estados propios de energía. La interpretación de probabilidad independiente del tiempo de los coeficientes al cuadrado solo es aplicable para los coeficientes de expansión con respecto a la base propia del operador medido.

Respuestas (1)

Medición en estado de superposición general

La fase relativa de los estados propios de energía que contribuyen es importante para la evolución temporal. Los cuadrados de magnitud simple de los coeficientes no contienen esa información. Un objeto que tenga la información equivalente sería un vector con todos los coeficientes complejos o una matriz de densidad. Por ejemplo, no podría decidir si el término oscilante en su ejemplo es un seno o un coseno (o cualquier cosa intermedia determinada por la fase relativa de los coeficientes), si solo le dieran los coeficientes al cuadrado.
También tenga en cuenta que el $c_n$ en la cotización puede ser diferente de los coeficientes de expansión con respecto a los estados propios de energía. La interpretación de probabilidad independiente del tiempo de los coeficientes al cuadrado solo es aplicable para los coeficientes de expansión con respecto a la base propia del operador medido.

lucas baldo · Answer 1

No representan las mismas cosas.

El $c_n$ son la amplitud de probabilidad de que el sistema esté en el estado propio de energía $n$ si mides la energía en cualquier momento.
La función de onda $\psi(x,t)$ , por otro lado, es la amplitud de probabilidad de que el sistema esté en la posición $x$ si mides la posición en el tiempo $t$ .

En su caso, los estados propios de energía dependientes del tiempo son

\begin{aligned} ψ_{norte} (X, t) \propto {tu}_{i} Exp (- i {mi}_{i} t / ℏ), \end{aligned}

$\begin{align} \psi_n(x,t) \propto u_i~\exp(-iE_it/\hbar), \end{align}$ hasta la normalización. Es fácil ver a partir de su primera ecuación que si estos estados ya están normalizados, entonces los coeficientes deben ser

c_{n} = 1 / \sqrt{2}

$c_n = 1/\sqrt{2}$ . Sin embargo, si no lo son, puede averiguar los coeficientes teniendo en cuenta que los estados propios de energía deben ser ortonormales. Entonces

\begin{aligned} ⟨ ψ_{metro}, t | ψ, t ⟩ & = \sum_{norte} C_{norte} ⟨ ψ_{metro}, t | ψ_{norte}, t ⟩ \\ = \sum_{norte} C_{norte} d_{norte, metro} \\ = C_{metro} . \end{aligned}

$\begin{align} \langle \psi_m, t\vert \psi, t\rangle &= \sum_n c_n \langle \psi_m, t\vert \psi_n, t \rangle \\ &= \sum_n c_n \delta_{n,m} \\ &= c_m. \end{align}$

Al expandir el espacio de posición:

\begin{aligned} ⟨ ψ_{metro}, t | ψ, t ⟩ & = \int ψ_{metro}^{*} (X, t) ψ (X, t) d X \\ = \int ψ_{metro}^{*} (X, t) \frac{1}{\sqrt{2}} [{tu}_{1} (X) {mi}^{- i {mi}_{1} t / ℏ} + {tu}_{2} (X) {mi}^{- i {mi}_{2} t / ℏ}] \\ = \int ψ_{metro}^{*} (X, t) \frac{1}{\sqrt{2}} [\frac{ψ_{1} (X, t)}{{norte}_{1}} + \frac{ψ_{2} (X, t)}{{norte}_{2}}] \\ = \frac{d_{metro, 1}}{\sqrt{2} {norte}_{1}} + \frac{d_{metro, 2}}{\sqrt{2} {norte}_{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} \langle \psi_m, t\vert \psi, t\rangle &= \int \psi_m^*(x,t) \psi(x,t) dx \\ &= \int \psi_m^*(x,t) \frac{1}{\sqrt{2}} \left[u_1(x)e^{-iE_1t/\hbar} + u_2(x)e^{-iE_2t/\hbar}\right] \\ &= \int \psi_m^*(x,t) \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\frac{\psi_1(x,t)}{N_1} + \frac{\psi_2(x,t)}{N_2}\right] \\ &= \frac{\delta_{m,1}}{\sqrt{2} ~ N_1} + \frac{\delta_{m,2}}{\sqrt{2} ~ N_2}, \end{align}$ donde el

N_{i}

$N_i$ son los factores de normalización de la

u_{i}

$u_i$ distribuciones.

Finalmente,

\begin{aligned} | C_{1} |^{2} & = \frac{1}{2 {norte}_{1}^{2}} = \frac{1}{2 \int | {tu}_{1} (X) |^{2} d X} \\ | C_{2} |^{2} & = \frac{1}{2 {norte}_{2}^{2}} = \frac{1}{2 \int | {tu}_{2} (X) |^{2} d X} . \end{aligned}

$\begin{align} \vert c_1 \vert^2 &= \frac{1}{2 ~ N_1^2} = \frac{1}{2 ~ \int \vert u_1(x)\vert^2 dx} \\ \vert c_2 \vert^2 &= \frac{1}{2 ~ N_2^2} = \frac{1}{2 ~ \int \vert u_2(x)\vert^2 dx}. \end{align}$

Recuerda: las probabilidades dependen del observable que estés midiendo .

El bit citado en mi pregunta se copia directamente de mis notas, por lo que asumo que es 100% correcto. Dado que nuestras condiciones son para cualquier observable y no solo energía y dado que la posición es un observable, ¿por qué no sería cierto para la posición?
La probabilidad $\vert c_n \vert^2$ no es constante en el tiempo para ningún observable, solo para observables que conmutan con el hamiltoniano. Para un pozo cuadrado el operador de posición $\hat{x}$ no conmuta con el hamiltoniano $\hat{H} = \hat{p}^2/2m + V(\hat{x})$ , entonces los coeficientes de probabilidad $\vert\psi(x,t)\vert^2$ no son constantes en el tiempo. Supongo que en la expresión $ψ=∑_nc_n ψ_n$ lo que el disertante quiso decir es que estas funciones de onda y coeficientes deben tomarse en el momento de la medición $t_0$ .

Medición en estado de superposición general

gato gato

hans wurst

hans wurst

Respuestas (1)

lucas baldo

gato gato

lucas baldo

¿Cuál es la razón física detrás de la linealidad de la ecuación de Schrödinger?

Solución completa de la función de onda para el problema de partículas en una caja

¿Cuáles son las funciones de estos coeficientes c1,c2,c3,c4c1,c2,c3,c4c_1,c_2,c_3,c_4 en ψsp3=c1ψ2s+c2ψ2px+c3ψ2py+c4ψ2pzψsp3=c1ψ2s+c2ψ2px+c3ψ2py+c4ψ2pz \psi_{sp^3 }= c_1\psi_{2s}+ c_2\psi_{2p_{x}} + c_3\psi_{2p_y}+ c_4\psi_{2p_{z}}?

¿Son siempre completas las soluciones separables de la ecuación de Schrödinger?

Significado físico de la combinación lineal de posibles estados en pozo infinito

Comprender el vector de estado de la mecánica cuántica

¿Cómo visualizar un estado de gato de Schrödinger?

¿Por qué los electrones en un átomo ocupan solo los estados estacionarios?

¿Cuál es la interpretación de probabilidad cero en física?

¿Qué significa superposición coherente?