¿Cómo visualizar un estado de gato de Schrödinger?

Question

¿Cómo visualizar un estado de gato de Schrödinger?

Física
función de onda
espacio de hilbert
superposición
mecánica cuántica
el gato de schroedinger

Juan Pérez

Recientemente leí sobre los estados del gato de Schrödinger, que son básicamente una superposición de dos estados coherentes $|\alpha\rangle$ con fases opuestas, es decir,

| C a t ⟩ = | α ⟩ \pm | - α ⟩

$|\mathrm{cat}\rangle = |\alpha\rangle \pm |{-\alpha}\rangle$ lo que nos da un estado de gato par de Shcrödinger con solo partes pares y un estado de gato impar con solo partes impares,

\begin{aligned} | {C a t}_{mi v mi norte} ⟩ & \propto 2 {mi}^{- \frac{| α |^{2}}{2}} (\frac{α^{0}}{\sqrt{0!}} | 0 ⟩ + \frac{α^{2}}{\sqrt{2!}} | 2 ⟩ + \frac{α^{4}}{\sqrt{4!}} | 4 ⟩ + \dots), y \\ | {C a t}_{o d d} ⟩ & \propto 2 {mi}^{- \frac{| α |^{2}}{2}} (\frac{α^{1}}{\sqrt{1!}} | 1 ⟩ + \frac{α^{3}}{\sqrt{3!}} | 3 ⟩ + \frac{α^{5}}{\sqrt{5!}} | 5 ⟩ + \dots) . \end{aligned}

$\begin{align} \left| \mathrm{cat}_\mathrm{even} \right\rangle & \propto 2 e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}} \left( \frac{\alpha^0}{\sqrt{0!}}| 0 \rangle + \frac{\alpha^2}{\sqrt{2!}}| 2 \rangle + \frac{\alpha^4}{\sqrt{4!}}| 4 \rangle + \dots \right), \quad\text{and} \\ \left| \mathrm{cat}_\mathrm{odd} \right\rangle & \propto 2 e^{- \frac{|\alpha|^2}{2}} \left( \frac{\alpha^1}{\sqrt{1!}} | 1 \rangle + \frac{\alpha^3}{\sqrt{3!}} | 3 \rangle + \frac{\alpha^5}{\sqrt{5!}} | 5 \rangle + \dots\right). \end{align}$ Mi pregunta es, ¿cómo puedo visualizar algo así? He visto algunas imágenes de matrices de densidad y funciones de Wigner, pero no las conozco exactamente. ¿Hay una manera más fácil de entender esto/trazarlo yo mismo? Estoy pensando en algo similar a las probabilidades de un estado coherente, que es básicamente una distribución de Poisson. ¿O necesito explícitamente las funciones de Wigner y demás?

Respuestas (1)

¿Cómo visualizar un estado de gato de Schrödinger?

Emilio Pisanty · Answer 1

El método de visualización que elija está directamente y completamente determinado por la información que necesita ver sobre su estado. Para los estados de un solo modo bosónico, existen múltiples métodos de visualización diferentes, y todos tienen sus pros y sus contras. En particular, existe una compensación directa entre la cantidad de información que puede mostrar en un gráfico y el trabajo que deberá realizar para comprender los gráficos. En pocas palabras, las gráficas que son fáciles de entender no representarán los estados con suficiente detalle.

Por lo tanto, es posible que desee trazar

la distribución del número de fotones, que es completamente insensible a las fases y, por lo tanto, no puede distinguir entre superposiciones coherentes de esos estados numéricos e incoherentes;
las distribuciones de probabilidad del espacio de posición y momento, que son insensibles a la fase de la función de onda en esos espacios y, por lo tanto, no transmiten hacia dónde se está moviendo el estado, o si el estado es puro o mixto;
las funciones de onda del espacio de posición y momento, que solo son aplicables a estados puros y para los cuales las codificaciones de momento y posición pueden ser difíciles de desentrañar;
las funciones basadas en el espacio de fase (es decir, la función de Wigner y la de Sudarshan) $P$ y Husimi $Q$ representaciones), que representan gráfica y explícitamente toda la dependencia del espacio de fase del estado, y que tardan unos diez minutos en comprenderse.

Si realmente desea comprender correctamente un estado como una superposición de gato de estado coherente, realmente no hay forma de evitar un enfoque basado en el espacio de fase, porque está seleccionando específicamente los estados que superpone en función de sus características de espacio de fase.

Esto te deja con la función Wigner, que no es tan difícil. En particular, si integra sobre tiras verticales (horizontales), las distribuciones marginales resultantes son exactamente las distribuciones de probabilidad de posición-(momento-)espacio. Esto es bastante fácil e intuitivo de mostrar gráficamente:

Función de Wigner de un estado cat, con distribuciones marginales de posición y momento

^{Fuente de Mathematica víaImport["http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m"]["http://i.stack.imgur.com/32PpE.png"]}

Las variables en el plano son la posición (horizontal) y el momento (vertical). Cada componente de estado coherente cat-state es una gota que gira una vez alrededor del origen durante el período del oscilador. Entre dos "ojos" de gato de este tipo, obtienes una "sonrisa": un patrón de flecos a lo largo de su separación. Estas franjas son precisamente donde se codifica la información sobre la superposición, y son cruciales para obtener la interferencia correcta entre los dos componentes.

En particular:

Cuando los dos blobs están espacialmente separados, se integra a través de las franjas y el resultado es esencialmente cero, por lo que no hay probabilidad entre los blobs.
Cuando las dos manchas se superponen espacialmente, deben interferir porque tienen diferentes perfiles de fase. Aquí, las franjas de la función de Wigner se integran longitudinalmente, por lo que las regiones positivas le brindan una interferencia constructiva y las regiones negativas representan la interferencia destructiva.

Debería ser fácil ver cómo esto puede explicar de forma perfectamente natural los estados mixtos, es decir, estados en los que la coherencia de la superposición es menos que perfecta. Las dos manchas permanecerán: representan la población en cada $\alpha$ - pero el contraste en las franjas de interferencia disminuirá, lo que significa que la amplitud de la "sonrisa" también disminuirá. ¡Fácil!

Debo decir que, en mi libro, te estás volviendo notorio como el usuario de Physics SX con las respuestas más profundas. ¡No ha sido la primera vez que respondes una pregunta mía con tanto detalle!
"las gráficas que son fáciles de entender no representarán los estados con suficiente detalle" : ¿quiere decir que la función de Wigner no representa algunos detalles? ¿O simplemente no es "fácil de entender" para el propósito de la declaración que cité?
@Ruslan si cree que los diagramas de función de Wigner son objetos simples, sugeriría que tal vez haya pasado mucho más tiempo trabajando con ellos que el estudiante universitario promedio.

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Emilio Pisanty

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Ruslán

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