¿Cuál es la razón física detrás de la linealidad de la ecuación de Schrödinger?

Debe entenderse que la física, al menos en su forma actual, no proporciona respuestas a "¿Por qué estas leyes?" preguntas. Sólo puede describir una ley emergente de otra más profunda y fundamental. La teoría cuántica es hasta ahora el marco más fundamental que tenemos, por lo que no hay una "razón" más fundamental para describir su estructura aparte de encontrar vínculos entre varias propiedades de la teoría.

La linealidad de la ecuación de Schrödinger es una consecuencia del principio de superposición más general . Este principio establece que las causas se suman linealmente hacia los efectos y se postula .

Pero, ¿qué nos lleva a este postulado? Observaciones experimentales: efectos de onda como la interferencia y ciertos experimentos con espín/polarización de partículas. Véase, por ejemplo, el experimento de la doble rendija para la interferencia y la ley de Malus para la luz polarizada: aunque pasa un haz de fotones perfectamente polarizados a través de un polarizador en un ángulo diferente, pueden "descomponerse linealmente" en fotones de diferentes polarizaciones y una parte de ellos pasa a través. Es decir, los fotones que pasan se polarizarán de acuerdo con la orientación del polarizador y este proceso puede entenderse completamente a través de la linealidad de los estados de la mecánica cuántica.

Sin embargo, la postulación de la linealidad fue solo una consecuencia de conocer principalmente ecuaciones de onda lineales. Estos efectos son concebibles en una teoría con ligeras no linealidades y, de hecho, así se ha propuesto. Este artículo revisa brevemente las propuestas y sus pruebas experimentales que arrojaron que las no linealidades propuestas están más allá del alcance de detección.

El artículo vinculado también proporciona una "prueba" de la linealidad de la evolución de la mecánica cuántica bajo algunas suposiciones razonables. Pero lo entendería más como una prueba de una conexión más profunda entre la estructura habitual de operadores y espacios de estados lineales con la linealidad general de la evolución mecánica cuántica. Es decir, el artículo muestra que tendríamos que cambiar a un marco diferente, sin estados$|\psi\rangle$, operadores hermitianos lineales y su interpretación habitual, para incluir la no linealidad en la mecánica cuántica.

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Entonces, la conclusión es: parece que la linealidad de la evolución mecánica cuántica (también conocida como ecuación de Schrödinger) es una parte vital de la estructura de la teoría. Sin embargo, nunca podemos justificar la linealidad por completo, la razón principal es que "simplemente funciona". Pero eso no excluye la posibilidad de un cambio de paradigma que incluya la introducción de la no linealidad.

Se ve mejor en la representación de Heisenberg. Las cantidades físicas, Observables, se representan mediante operadores lineales hermitianos. La ecuación de movimiento es entonces (para una partícula masiva no relativista):

$$m \dfrac{d^2\hat X(t)}{dt^2} = - \dfrac{\partial V(\hat X)}{\partial \hat X}(t) \tag{1}$$

con las condiciones de cuantización:

$[\hat X(t),m \dfrac{d\hat X(t')}{dt}]_{|t=t'} =i \hbar$

La ecuacion$(1)$es una ecuación entre operadores, por lo que tenemos:

$$\forall |\psi\rangle, \quad m \dfrac{d^2\hat X(t)}{dt^2} |\psi\rangle = - \dfrac{\partial V(\hat X)}{\partial \hat X}(t) |\psi\rangle\tag{2}$$

Aquí$|\psi\rangle$es un estado constante (no depende del tiempo).

Ecuación$(2)$surge claramente porque, en la mecánica cuántica, uno está usando operadores lineales.

Ahora bien, esto no significa que la ecuación$(1)$es una ecuación lineal relativa al operador de posición$\hat X(t)$. Generalmente no es así, salvo casos muy particulares (partícula libre, oscilador armónico)

También podemos usar una ecuación integral de energía que también es una ecuación entre operadores:

$$\frac{m}{2} \dot {\hat X(t)}^2 + V(\hat X)(t) = E \tag{3}$$

dónde$E$es una matriz constante (no dependiente del tiempo). Tenemos entonces:

$$\forall |\psi\rangle, \quad \frac{m}{2} \dot {\hat X(t)}^2|\psi\rangle + V(\hat X)(t)|\psi\rangle = E |\psi\rangle\tag{4}$$

Como antes, esta ecuación es "lineal" en$\psi$, pero no corresponde a una ecuación lineal de movimiento para$\hat X(t)$, excepto si el potencial es cero o como máximo cuadrático en$\hat X$