Nuestra elección de base seguramente no puede afectar los posibles resultados de una medición.

Question

Nuestra elección de base seguramente no puede afectar los posibles resultados de una medición.

Miguel Ángel

El sentido común dice que, por supuesto, el resultado de una medición en un sistema cuántico no puede verse afectado por la base en la que elegimos representarlo. Sin embargo, al estudiar el texto de QM, parece que a veces casi lo sugieren... Mi La pregunta es bastante vaga, así que déjame darte un ejemplo que creo que contiene la mayor parte de mi confusión.

Considere un sistema basado en estados propios simultáneos de $L^2$ y $L_z$ , con sus respectivos valores propios $l(l+1)\hbar^2$ y $m\hbar$ . Dejar $\mathbf{\hat{n}}$ ser un vector unitario en una dirección especificada por ángulos polares ( $\theta,\phi$ ).

Claramente $L_n = \sin\theta\cos\phi L_x+\sin\theta\sin\phi L_y +\cos\theta L_z$

Ahora tengo dos preguntas ligeramente diferentes:

¿Cuáles son los posibles resultados de una medición (precisa) de $L_n$ , $L_n^2$ ?
¿Cuáles son los posibles valores esperados de $L_n$ , $L_n^2$

te diría

$m\hbar$ , $l(l+1)\hbar^2$ o tal vez $m \hbar \cos\theta$ , pero esto significaría que mi elección de dirección en el espacio afectó el resultado de la medición?
Ni idea y me hace cuestionar mi respuesta a 1) de nuevo...

Stan

Si tienes un estado que es un estado propio de

L_{z}

$L_z$ , entonces no será un estado propio de

L_{n}

$L_n$ que definiste arriba, ya que

L_{x}

$L_x$ ,

L_{y}

$L_y$ , y

L_{z}

$L_z$ no conmutar, y por lo tanto el valor medido podría ser cualquier cosa. Creo que lo que quiere hacer es hacer un cambio de coordenadas, pero también necesita transformar el estado de la misma manera que transformó los operadores, de modo que si

ϕ

$\phi$ era un vector propio de

L_{z}

$L_z$ el nuevo

ϕ^{'}

$\phi'$ es un vector propio de

L_{n}

$L_n$ . Después de esto obtendrás exactamente los mismos resultados.

Respuestas (1)

Nuestra elección de base seguramente no puede afectar los posibles resultados de una medición.

Si tienes un estado que es un estado propio de $L_z$ , entonces no será un estado propio de $L_n$ que definiste arriba, ya que $L_x$ , $L_y$ , y $L_z$ no conmutar, y por lo tanto el valor medido podría ser cualquier cosa. Creo que lo que quiere hacer es hacer un cambio de coordenadas, pero también necesita transformar el estado de la misma manera que transformó los operadores, de modo que si $\phi$ era un vector propio de $L_z$ el nuevo $\phi'$ es un vector propio de $L_n$ . Después de esto obtendrás exactamente los mismos resultados.

Motl de Luboš · Answer 1

Los fenómenos de la mecánica cuántica se pueden expresar usando cualquier base (esa es la palabra en inglés para el conjunto de vectores, no una "base"). No significa que todas las bases sean igualmente útiles para una situación dada. En particular, un postulado fundamental de la mecánica cuántica dice que justo después de cada medición, el sistema se encuentra en uno de los estados propios del observable que se acaba de medir.

Es por eso que la base de los estados propios de $K$ es obviamente más útil para describir la medición de $K$ que otras bases. Tenga en cuenta que qué base es útil, o qué base describe el posible estado posterior a la medición, depende del tipo de medición que decidamos realizar. Esta dependencia del "análisis correcto del sistema físico" de la forma elegida de observarlo es realmente un punto principal de la mecánica cuántica.

Si el análisis físico pudiera hacerse independientemente de la naturaleza de las observaciones, la teoría sería, por definición, física clásica, no mecánica cuántica. Tal independencia en las observaciones podría ser llamada "sentido común" por alguien, pero eso no cambia nada sobre el hecho de que la Naturaleza contradice esta suposición.

$L_n$ siempre tiene valores propios $m\hbar$ dónde $m$ es un número entero. $L_n^2$ tiene valores propios $m^2\hbar^2$ – porque es solo el cuadrado del operador de la oración anterior. Esto no debe confundirse con $L^2$ que tiene los valores propios $\ell(\ell+1)\hbar^2$ dónde $\ell=0,1,2,3,\dots$ $L^2$ siempre se puede medir simultáneamente con cualquier $L_n$ y en ese caso, $m\in\{-\ell, -\ell+1,\dots, \ell-1,\ell\}$ .
El valor esperado de cualquier operador puede ser cualquier número del intervalo entre el valor propio más bajo y más alto. Entonces, si medimos $L^2$ y $L_n$ en el mismo momento, entonces $\langle L_n\rangle$ puede ser cualquier número real entre $-\ell$ y $+\ell$ .

Tenga en cuenta que para cada $\vec n$ , el espectro de $L_n$ es el mismo. Para todas las opciones de $\vec n$ , los operadores $L_n$ son conjugados entre sí, es decir

\exists tu \in tu (H) : L_{{norte}^{'}} = tu L_{norte} {tu}^{†}

$\exists U\in U({\mathcal H}):\quad L_{n'} = U L_n U^\dagger$ Aquí, el operador

U

$U$ es un operador en el espacio de Hilbert que representa una rotación que gira el

\vec{n}

$\vec n$ eje a

{\vec{n}}^{'}

$\vec n'$ (pasiva o activamente, habría que tener cuidado).

Los estados propios correspondientes de $L_n$ y $L_{n'}$ también son conjugados entre sí, pero los conjuntos detallados de vectores propios son diferentes . Así que cuando medimos $L_n$ , llevamos el sistema a uno de los vectores base de $L_n$ por la medida, y si medimos $L_{n'}$ , los estados candidatos posteriores a la medición son elementos de la base de diferentes vectores propios.

Sin embargo, una pregunta sobre 2, si estamos hablando del valor esperado de $L_n$ en un estado propio simultáneo de $L_z$ y $L^2$ , entonces $\langle l m_l \vert L_n \vert l m_l \rangle$ , ¿su respuesta a 2) sigue siendo la misma?
Estaba y tenía que estar hablando de estados propios simultáneos de $L^2$ y $L_n$ , de lo contrario el símbolo $\ell$ no habría significado nada. Por el contrario, si no garantizara que el estado era un estado propio de $L^2$ , solo puedo decir que el valor esperado de $L_n$ es cualquier número real porque $\ell$ sería ilimitado.

Nuestra elección de base seguramente no puede afectar los posibles resultados de una medición.

Miguel Ángel

Stan

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Motl de Luboš

Miguel Ángel

Motl de Luboš

Miguel Ángel

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