Mecánica Clásica, El Mínimo Teórico: conservación del momento angular para el péndulo doble sin campo gravitatorio

Estoy leyendo Mecánica clásica de Susskind y Hrabovsky, El mínimo teórico. Puedo resolver todos los ejercicios, excepto uno: el ejercicio 7 de la lección 7, donde se le pide que demuestre que el momento angular de un péndulo doble se conserva si no hay campo gravitatorio.

Las masas y las longitudes de las varillas se eligen todas para que sean 1. La elección de las coordenadas es diferente de la mayoría de los libros de texto, en que el ángulo de la segunda varilla se mide con respecto al ángulo de la primera varilla, y no con respecto a la vertical. ver la figura:

La expresión para el Lagrangiano sin campo gravitacional se da en el libro como

$$L = \frac{\dot{\theta}^2}{2} + \frac{\dot{\theta}^2 + (\dot{\theta}+\dot{\alpha} )^2}{2} + \dot{\theta} (\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \cos \alpha$$ De esta expresión se puede ver que $\frac{\partial L}{\partial \theta}=0$y $\frac{\partial L}{\partial \alpha} = -\dot{\theta}(\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \sin \alpha$. Los otros dos términos en las ecuaciones de Euler-Lagrange se convierten en $$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = 3\dot{\theta} + \dot{\alpha} + (2\dot{\theta} + \dot{\alpha}) \cos \alpha,$$ y $$\frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}} = \dot{\theta} + \dot{\alpha} + \dot{\theta} \cos \alpha.$$ Tomando la derivada temporal de las últimas dos ecuaciones se obtiene $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = 3\ddot{\theta} + \ddot{\alpha} + (2\ddot{\theta} + \ddot{\alpha})\cos \alpha - \dot{\alpha}(2\dot{\theta} + \dot{\alpha}) \sin \alpha$$ y $$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}} = \ddot{\theta} + \ddot{\alpha} + \ddot{\theta}\cos \alpha - \dot{\alpha} \dot{\theta} \sin \alpha.$$

Usando los momentos angulares conjugados$p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}$y$p_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}}$, las ecuaciones de Euler-Lagrange se pueden escribir como

$$\frac{d p_{\theta}}{dt} = \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0,$$ y $$\frac{d p_{\alpha}}{dt} = \frac{\partial L}{\partial \alpha} = -\dot{\theta}(\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \sin \alpha.$$ De las últimas cuatro ecuaciones podemos igualar la primera y la tercera, y la segunda y la cuarta, para obtener las ecuaciones de movimiento $$3\ddot{\theta} + \ddot{\alpha} + (2\ddot{\theta} + \ddot{\alpha})\cos \alpha - \dot{\alpha}(2\dot{\theta} + \dot{\alpha}) \sin \alpha = 0,$$ y $$\ddot{\theta} + \ddot{\alpha} + \ddot{\theta}\cos \alpha - \dot{\alpha} \dot{\theta} \sin \alpha = -\dot{\theta}(\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \sin \alpha.$$

La conservación del momento angular total implica que$\frac{d}{dt} \big[ p_{\theta} + p_{\alpha}\big] = 0$debe ser cierto. Sin embargo, las ecuaciones anteriores producen

$$\frac{d}{dt} \big[ p_{\theta} + p_{\alpha}\big] = -\dot{\theta}(\dot{\theta}+\dot{\alpha} ) \sin \alpha.$$ No veo cómo puedo demostrar que el lado derecho de la última ecuación es cero, ni a partir de las ecuaciones de movimiento ni de ninguna otra manera. ¿Puede alguien por favor ayudarme con este problema?