Hallar el lagrangiano de un péndulo de resorte

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Hallar el lagrangiano de un péndulo de resorte

joebevo

Estoy tratando de entender el ejemplo de Morin de un péndulo de resorte. Lo que no entiendo es su expresión para $T$ . Puedo entender el $\dot x^2$ término entre paréntesis. Pero no entiendo el $(l + x)^2\dot \theta^2$ .

Además, parece bastante extraño descomponer la energía cinética en componentes tangenciales y radiales cuando es un escalar.

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Respuestas (4)

Hallar el lagrangiano de un péndulo de resorte

Manishearth · Answer 1

$\newcommand{\er}{\hat e_r} \newcommand{\et}{\hat e_\tau} \newcommand{\d}{\dot} \newcommand{\m}{\frac{1}{2}m}$ En coordenadas radiales, $\d\er=\d\theta \et$ , y (inútil aquí) $\d\et= -\d r \er$ . $\er,\et$ son vectores unitarios en direcciones radial y tangencial respectivamente. Debido a esta mezcla de vectores unitarios (se mueven junto con la partícula), las cosas se vuelven un poco más complicadas que en el sistema cartesiano simple, donde los vectores unitarios son constantes.

Para tu partícula, escribir $x+l\to r$ , el vector de posición es:

\vec{pag} = r {\hat{mi}}_{r}

$\vec p= r\er$

∴ \vec{v} = \dot{\vec{pag}} = \dot{r} {\hat{mi}}_{r} + r \dot{{\hat{mi}}_{r}} = \dot{r} {\hat{mi}}_{r} + r \dot{θ} {\hat{mi}}_{τ}

$\therefore \vec v=\d{\vec p}= \d r\er + r\d\er=\d r \er + r\d\theta\et$

∴ v^{2} = \vec{v} \cdot \vec{v} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}

$\therefore v^2= \vec v\cdot\vec v= \d r^2+r^2\d\theta^2$

Reemplazando el valor de $r=x+l,\d r=\d x$ (y multiplicando por $\m$ , obtenemos la expresión anterior?

Como puedes ver en mi expresión de $\vec v$ , tenía dos componentes de velocidad: radial y tangencial. Como son perpendiculares, solo puedo cuadrar y sumar, similar a $T=\m\left(\d x^2 +\d y^2\right)$ .

El punto es que puede ser un escalar, pero contiene un vector en su expresión:

T = \frac{1}{2} metro v^{2} = \frac{1}{2} metro | v |^{2} = \frac{1}{2} metro \vec{v} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} metro ({\dot{X}}^{2} + {\dot{y}}^{2})

$T=\m v^2=\m|v|^2=\m \vec v\cdot \vec v=\m(\dot x^2+\dot y^2)$

cuchillos · Answer 2

La energía cinética total es la suma de las partes. Para esto hay energía cinética en la dirección radial $1/2 m \dot{x}^2$ y en el $\hat{\theta}$ dirección. La superposición de estas dos energías forma el total. Debemos tener eso en cuenta cuando anotamos la energía cinética total. El primer término entre paréntesis es la velocidad radial al cuadrado, y el segundo término es la versión de $r^2 \dot{\theta}^2$ (La definición de la velocidad angular al cuadrado) perteneciente a este problema en particular. Aquí hay un poco más sobre la velocidad radial y angular. Espero que esto ayude.

Cleo · Answer 3

La energía cinética debe ser $\frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2)$ dónde $v_x$ y $v_y$ son la velocidad en la dirección respectiva. $x$ está configurado para ser $(l+x)*\sin \theta$ y $y$ está configurado para ser $(l+x)*\cos\theta$ tome la derivada temporal de ambos, luego elévelos al cuadrado. Después de hacer eso, date cuenta de que $\cos^2 + \sin^2 = 1$ así que haz la factorización necesaria para usar la identidad. Entonces los términos medios con el coeficiente 2 se cancelan. Finalmente la relación que queda es la ecuación de energía cinética que está en el libro.

Bienvenida a Physics.SE, Cleo. Con MathJax activo en el sitio, es posible escribir sus matemáticas en una notación similar a LaTeX y hacer que se represente perfectamente. Al hacer clic en el botón "editar", podrá ver lo que he hecho.

Anurag · Answer 4

No piense en ello como componentes de KE: más bien piense en ello como que el KE total del cuerpo es la suma de su KE angular y KE lineal (que resulta ser en la dirección radial en este caso) ... Espero eso ayuda..

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joebevo

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cuchillos

Cleo

dmckee --- gatito ex-moderador

Anurag

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