¿Ayuda con los símbolos de Chrstoffel para el problema de mecánica geométrica?

Question

¿Ayuda con los símbolos de Chrstoffel para el problema de mecánica geométrica?

jeffrey rolland

Estoy trabajando en el libro Control geométrico de sistemas mecánicos de Bullo y Lewis https://www.amazon.com/gp/product/0387221956/ y estoy atascado en un problema, E4-18. Evidentemente, el problema fue en un momento el tema de un trabajo de investigación, https://pdfs.semanticscholar.org/387d/4bb1c336aa0da87ab1d3a59f53532a2c74d2.pdf . Estoy tratando de reproducir lo que hicieron los autores en ese artículo para poder resolver el problema de Bullo y Lewis. Tomando la función de energía cinética de los autores del artículo como correcta, incluida su "métrica riemanniana de energía cinética", estoy tratando de reproducir sus ecuaciones de movimiento del Lagrangiano.

Tomar la derivada del lagrangiano para producir las ecuaciones de movimiento con una métrica riemanniana de energía cinética evidentemente incluye el uso de símbolos de Christoffel, según Bullo y Lewis. Calculé los 4 símbolos de Christoffel con $\theta$ "en la parte superior", para ser utilizado en la primera ecuación de movimiento para $\ddot{\theta}$ , y obtengo que 2 de ellos, los que tienen $z\theta$ y $\theta z$ en la parte inferior, son distintos de cero y lo mismo, lo que lleva a un $-2mz\dot{z}\dot{\theta}$ término en la primera ecuación de movimiento para $\ddot{\theta}$ . yo tambien entiendo eso $\Gamma^{\theta}_{zz} = 0$ .

Sin embargo, obtengo un valor distinto de cero para $\Gamma^{\theta}_{\theta\theta}$ , lo que debería conducir a una $mlz\dot{\theta}^2$ término en la ecuación de movimiento para $\ddot{\theta}$ , pero los autores del artículo no tienen dicho término en su ecuación de movimiento para $\ddot{\theta}$ .

¿Puede alguien ayudarme a averiguar qué estoy haciendo mal? Muchas gracias de antemano.

QuantumEyedea

No puedo acceder a las páginas del libro de texto, por lo que sería útil saber cuál es el problema. Supongo que estás calculando los símbolos de Christoffel.

Γ_{b c}^{a}

$\Gamma^{a}_{\ bc}$ para coordenadas cilíndricas

(x^{1}, x^{2}, x^{3}) = (r, θ, z)

$(x^1,x^2,x^3)=(r,\theta,z)$ ?

eli

por qué no usa el formalismo lagrangiano para conducir el EOM

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0 q_{1} = ϑ, q_{2} = z

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\,\quad q_1=\vartheta\,,q_2=z$

jeffrey rolland

@ Greg.Paul ¡Muchas gracias por responder! Las coordenadas son solo

(θ, z)

$(\theta,z)$ :

θ

$\theta$ es el ángulo de la plataforma;

l

$l$ es la distancia perpendicular del canal desde el punto de rotación (un parámetro, no una variable); y

z

$z$ es la distancia desde el centro del canal. El problema es (a) calcular la energía cinética y la "métrica riemanniana de energía cinética" (b) calcular la energía potencial (c) calcular los símbolos de Christoffel (de la métrica riemanniana de energía cinética) y (d) calcular la ecuaciones de movimiento.

jeffrey rolland

@Eli ¡Muchas gracias por responder! El simple uso de lo que anotó con el Lagrangiano en el papel no reproduce las ecuaciones de movimiento en el papel; uno evidentemente necesita incluir los símbolos de Christoffel. Nunca antes había calculado el EOM a partir de un lagrangiano con símbolos de Christoffel, y evidentemente lo estoy haciendo mal ahora.

Respuestas (1)

¿Ayuda con los símbolos de Chrstoffel para el problema de mecánica geométrica?

No puedo acceder a las páginas del libro de texto, por lo que sería útil saber cuál es el problema. Supongo que estás calculando los símbolos de Christoffel. $\Gamma^{a}_{\ bc}$ para coordenadas cilíndricas $(x^1,x^2,x^3)=(r,\theta,z)$ ?
por qué no usa el formalismo lagrangiano para conducir el EOM $\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0 q_{1} = ϑ, q_{2} = z$ $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\,\quad q_1=\vartheta\,,q_2=z$
@ Greg.Paul ¡Muchas gracias por responder! Las coordenadas son solo $(\theta,z)$ : $\theta$ es el ángulo de la plataforma; $l$ es la distancia perpendicular del canal desde el punto de rotación (un parámetro, no una variable); y $z$ es la distancia desde el centro del canal. El problema es (a) calcular la energía cinética y la "métrica riemanniana de energía cinética" (b) calcular la energía potencial (c) calcular los símbolos de Christoffel (de la métrica riemanniana de energía cinética) y (d) calcular la ecuaciones de movimiento.
@Eli ¡Muchas gracias por responder! El simple uso de lo que anotó con el Lagrangiano en el papel no reproduce las ecuaciones de movimiento en el papel; uno evidentemente necesita incluir los símbolos de Christoffel. Nunca antes había calculado el EOM a partir de un lagrangiano con símbolos de Christoffel, y evidentemente lo estoy haciendo mal ahora.

eli · Answer 1

¿Creo que puedes conducir los EOM desde el Lagrangiano?

\begin{aligned} \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0 q_{1} = ϑ, q_{2} = z \\ L = (metro (z^{2} + {yo}^{2}) + \frac{1}{2} I) {\dot{ϑ}}^{2} - 2 metro yo \dot{ϑ} \dot{z} + metro {\dot{z}}^{2} \\ (\frac{\partial L}{\partial \dot{ϑ}}) = 2 (metro (z^{2} + {yo}^{2}) + \frac{1}{2} I) \dot{ϑ} - 2 metro yo \dot{z} \\ \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{ϑ}}) = 2 (metro (z^{2} + {yo}^{2}) + \frac{1}{2} I) \ddot{ϑ} - 2 metro yo \ddot{z} + 4 metro \dot{z} \dot{ϑ} \\ \frac{\partial L}{\partial ϑ} = 0 \\ MOE para ϑ \\ (metro (z^{2} + {yo}^{2}) + \frac{1}{2} I) \ddot{ϑ} - metro yo \ddot{z} + 2 metro \dot{z} \dot{ϑ} = 0 \sqrt ? ? \end{aligned}

$\begin{align*} &\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\,\quad q_1=\vartheta\,,q_2=z\\\\ &L=\left(m\left(z^2+l^2\right)+\frac{1}{2}I\right)\dot{\vartheta}^2 -2\,m\,l\dot{\vartheta}\dot{z}+m\,\dot{z}^2\\ &\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}\right)= 2\left(m\left(z^2+l^2\right)+\frac{1}{2}I\right)\dot{\vartheta}- 2\,m\,l\dot{z}\\ &\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}\right)= 2\left(m\left(z^2+l^2\right)+\frac{1}{2}I\right)\ddot{\vartheta}- 2\,m\,l\ddot{z}+4\,m\,\dot{z}\,\dot{\vartheta}\\ &\frac{\partial L}{\partial \vartheta}=0\\\\ &\text{EOM for $\vartheta$}\\ &\boxed{\left(m\left(z^2+l^2\right)+\frac{1}{2}I\right)\ddot{\vartheta}- \,m\,l\ddot{z}+2\,m\,\dot{z}\dot{\vartheta}=0}\quad \surd ?? \end{align*}$

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