Matriz de Jacobi entre coordenadas cartesianas y de Schwarzschild

Question

Matriz de Jacobi entre coordenadas cartesianas y de Schwarzschild

Física
geodésicas
adm-formalismo
sistemas coordinados
relatividad general
física computacional

Tomás

Dejar $\mathcal P$ ser un fotón en la posición $\vec x =(x,y,z)$ con 3 velocidades $\vec v=(v_x,v_y,v_z)$ , donde ambos se dan en coordenadas cartesianas locales. Quiero seguir la geodésica de fotones resolviendo numéricamente las ecuaciones geodésicas, que se pueden escribir en forma de 3+1 como,

\begin{aligned} \frac{d X^{i}}{d t} & = \frac{1}{{pag}^{0}} \frac{d X^{i}}{d λ} = γ^{i j} \frac{{pag}_{j}}{{pag}^{0}} - β^{i}, \\ \frac{d {pag}_{i}}{d t} & = \frac{1}{{pag}^{0}} \frac{d {pag}_{i}}{d λ} = - α {pag}^{0} \partial_{i} α + {pag}_{k} \partial_{i} β^{k} - \frac{1}{2} \partial_{i} γ^{yo metro} \frac{{pag}_{yo} {pag}_{metro}}{{pag}^{0}}, \\ \frac{d t}{d λ} & = {pag}^{0} = \frac{1}{α} \sqrt{γ^{i j} {pag}_{i} {pag}_{j}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{dx^i}{d t} &= \frac{1}{p^0}\frac{dx^i}{d\lambda} = \gamma^{ij}\frac{p_j}{p^0}-\beta^i,\\ \frac{dp_i}{d t} &= \frac{1}{p^0}\frac{dp_i}{d\lambda} = -\alpha p^0\partial_i\alpha+p_k\partial_i\beta^k -\frac{1}{2}\partial_i\gamma^{lm}\frac{p_l p_m}{p^0},\\ \frac{dt}{d\lambda} &= p^0 = \frac{1}{\alpha}\sqrt{\gamma^{ij} p_i p_j}. \end{align}$

extraigo las cantidades $\alpha,\beta^i,\gamma^{ij}$ de la métrica de Schwarzschild y use un algoritmo Runge-Kutta 4 para integrar las ODE.

De mis valores iniciales cartesianos dados $\vec x$ y $\vec v$ Puedo calcular los valores iniciales para las ecuaciones diferenciales $x^\bar i$ y $p_\bar i$ , donde los índices desnudos representan coordenadas cartesianas.

Pregunta: ¿Qué son las transformaciones de coordenadas y cómo determino las matrices de Jacobi? $\Lambda^i_{\ \ \bar i}$ y $\Lambda_i^{\ \ \bar i}$ Cómo transformar mis valores iniciales cartesianos en coordenadas de Schwarzschild?

\begin{aligned} \begin{array}{l} r = r (X, y, z) \\ θ = θ (r, y, z) \\ ϕ = ϕ (X, y, z) \end{array}, {pag}_{i} = Λ_{i}^{\bar{i}} {pag}_{\bar{i}} \end{aligned}

$\begin{align} \begin{array}{l} r=r(x,y,z) \\ \theta = \theta(r,y,z)\\ \phi = \phi(x,y,z) \end{array} ,\qquad p_i = \Lambda_i^{\ \ \bar i} p_\bar i \end{align}$

A primera vista, las coordenadas de Schwarzschild parecen coordenadas polares esféricas, pero si las transformo en consecuencia y calculo la norma de mi vector de velocidad con la métrica 3 del espacio-tiempo de Schwarzschild, la norma no se conserva,

\begin{aligned} | \vec{v} | = \sqrt{v_{X}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}} = 1 \neq \sqrt{γ_{i j} v^{i} v^{j}} \end{aligned}

$\begin{align} |\vec v| = \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} = 1 \neq \sqrt{\gamma_{ij}v^i v^j} \end{align}$

mike piedra

No veo cómo puedes simplemente "cambiar las coordenadas". Eso solo funciona cuando los espacios tienen la misma geometría, pero las coordenadas cartesianas son para espacios planos y Schwarzschild implica curvas.

Tomás

Siempre puede construir un marco de referencia local alrededor de cualquier observador que sea localmente plano.

mike piedra

Sólo a orden cuadrático. Los símbolos de Christoffle se desvanecen a un orden lineal. física.stackexchange.com/questions/392521/…

Respuestas (1)

Matriz de Jacobi entre coordenadas cartesianas y de Schwarzschild

No veo cómo puedes simplemente "cambiar las coordenadas". Eso solo funciona cuando los espacios tienen la misma geometría, pero las coordenadas cartesianas son para espacios planos y Schwarzschild implica curvas.
Siempre puede construir un marco de referencia local alrededor de cualquier observador que sea localmente plano.
Sólo a orden cuadrático. Los símbolos de Christoffle se desvanecen a un orden lineal. física.stackexchange.com/questions/392521/…

Tomás · Answer 1

La transformación de un vector de coordenadas cartesianas locales a coordenadas de Schwarzschild se puede realizar en dos pasos.

Paso 1: Transformar el vector cartesiano a coordenadas esféricas con el jacobiano,

\begin{aligned} v^{\hat{i}} = Λ_{\bar{i}}^{\hat{i}} v^{\bar{i}} . \end{aligned}

$\begin{align} v^\hat i = \Lambda^\hat i_{\ \ \bar i} v^\bar i. \end{align}$

Los índices con barra y sombrero corresponden a coordenadas cartesianas y esféricas respectivamente.

Paso 2: Transforma las coordenadas esféricas a coordenadas de Schwarzschild. El jacobiano correspondiente se puede extraer de la ley de transformación de cualquier tensor que conozcamos en ambos sistemas,

\begin{aligned} γ_{i j} = Λ_{i}^{\hat{i}} Λ_{j}^{\hat{j}} γ_{\hat{i} \hat{j}} . \end{aligned}

$\begin{align} \gamma_{ij} = \Lambda^\hat i_{\ \ i}\Lambda^\hat j_{\ \ j} \gamma_{\hat i\hat j}. \end{align}$

Aquí uso la métrica 3 que conocemos en ambos marcos de coordenadas. Los índices sin adornos representan tensores en el espacio-tiempo de Schwarzschild. En general, la ecuación anterior produce un sistema de 9 ecuaciones cuadráticas que pueden ser difíciles de resolver. Sin embargo, en el caso de coordenadas esféricas y de Schwarzschild, se simplifica a 3 ecuaciones cuadráticas, debido a que ambas 3 métricas son diagonales,

\begin{aligned} γ_{11} & = Λ_{1}^{\hat{1}} Λ_{1}^{\hat{1}} γ_{\hat{1} \hat{1}}, γ_{22} = Λ_{2}^{\hat{2}} Λ_{2}^{\hat{2}} γ_{\hat{2} \hat{2}}, γ_{33} = Λ_{3}^{\hat{3}} Λ_{3}^{\hat{3}} γ_{\hat{3} \hat{3}}, \\ (1 - \frac{2 METRO}{r})^{- 1} & = Λ_{1}^{\hat{1}} Λ_{1}^{\hat{1}} 1, r^{2} = Λ_{2}^{\hat{2}} Λ_{2}^{\hat{2}} r^{2}, r^{2} {pecado}^{2} (θ) = Λ_{3}^{\hat{3}} Λ_{3}^{\hat{3}} r^{2} {pecado}^{2} (θ) . \end{aligned}

$\begin{align} \gamma_{11} &= \Lambda^\hat 1_{\ \ 1}\Lambda^\hat 1_{\ \ 1} \gamma_{\hat 1\hat 1}, \quad \gamma_{22} = \Lambda^\hat 2_{\ \ 2}\Lambda^\hat 2_{\ \ 2} \gamma_{\hat 2\hat 2}, \quad \gamma_{33} = \Lambda^\hat 3_{\ \ 3}\Lambda^\hat 3_{\ \ 3} \gamma_{\hat 3\hat 3},\\ (1-\frac{2M}{r})^{-1} &= \Lambda^\hat 1_{\ \ 1}\Lambda^\hat 1_{\ \ 1} 1, \qquad r^2 = \Lambda^\hat 2_{\ \ 2}\Lambda^\hat 2_{\ \ 2} r^2, \qquad r^2\sin^2(\theta) = \Lambda^\hat 3_{\ \ 3}\Lambda^\hat 3_{\ \ 3} r^2\sin^2(\theta). \end{align}$

Por lo tanto, obtenemos el siguiente jacobiano,

\begin{aligned} j = Λ_{i}^{\hat{i}} = (\begin{array}{ccc} (1 - \frac{2 METRO}{r})^{- 1 / 2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) . \end{aligned}

$\begin{align} J = \Lambda^\hat i_{\ \ i} = \left( \begin{array}{ccc} (1-\frac{2M}{r})^{-1/2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right). \end{align}$

Tenga en cuenta que este jacobiano transforma tensores de Schwarzschild contravariantes en tensores esféricos contravariantes o tensores esféricos covariantes en tensores de Schwarzschild covariantes,

\begin{aligned} v^{\hat{i}} = Λ_{i}^{\hat{i}} v^{i} v_{i} = Λ_{i}^{\hat{i}} v_{\hat{i}} . \end{aligned}

$\begin{align} v^\hat i = \Lambda^\hat i_{\ \ i} v^i\qquad v_i = \Lambda^\hat i_{\ \ i} v_\hat i. \end{align}$

Para transformar un tensor esférico contravariante a coordenadas de Schwarzschild tenemos que usar la transformación jacobiana inversa,

\begin{aligned} v_{\hat{i}} = Λ_{\hat{i}}^{i} v_{i} v^{i} = Λ_{\hat{i}}^{i} v^{\hat{i}} . \end{aligned}

$\begin{align} v_\hat i = \Lambda_\hat i^{\ \ i} v_i\qquad v^i = \Lambda_\hat i^{\ \ i} v^\hat i. \end{align}$

con $\Lambda_\hat i^{\ \ i} = (\Lambda^\hat i_{\ \ i})^{-1} = J^{-1}$ .

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Tomás

mike piedra

Tomás

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Tomás

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