Parametrización de la Ecuación Geodésica en GR

Question

Parametrización de la Ecuación Geodésica en GR

tiempo
Física
geodésicas
sistemas coordinados
relatividad general
geometría diferencial

mateo

Sé que la ecuación geodésica tiene la forma:

\begin{matrix} (1) & \frac{d^{2} X^{m}}{d λ^{2}} + Γ_{α β}^{m} \frac{d X^{α}}{d λ} \frac{d X^{β}}{d λ} = 0 \end{matrix}

$\frac{d^2x^{\mu}}{d\lambda^2}+\Gamma^{\mu}_{\alpha \beta}\frac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\frac{dx^{\beta}}{d\lambda}=0\tag{1}$ dónde

λ

$\lambda$ es el parámetro de la curva

γ (λ)

$\gamma(\lambda)$ , que parametriza la línea de universo de la partícula.

Hasta donde yo sé, puedo cambiar la parametrización usando una curva diferente $\gamma'(\lambda')$ (mientras $\gamma$ y $\gamma'$ tienen la misma imagen, que es la trayectoria de la partícula) y la ecuación geodésica no cambia de forma. Por lo general, el momento adecuado $\tau$ se usa como $\lambda$ .

Ahora tengo razones para creer que no puedes usar la coordenada de tiempo $t$ para parametrizar la curva, pero no puedo argumentar por qué este es el caso.

Entonces mi pregunta es: ¿Por qué no puedes usar las coordenadas de tiempo? $t$ parametrizar la geodésica y escribir:

\frac{d^{2} X^{m}}{d t^{2}} + Γ_{α β}^{m} \frac{d X^{α}}{d t} \frac{d X^{β}}{d t} = 0 ?

$\frac{d^2x^{\mu}}{dt^2}+\Gamma^{\mu}_{\alpha \beta}\frac{dx^{\alpha}}{dt}\frac{dx^{\beta}}{dt}=0~?$

Valter Moretti

Puedes usar el tiempo en lugar del tiempo apropiado porque

d t / d τ \neq 0

$dt/d\tau \neq 0$ ya que la curva es temporal (si entiendo correctamente). Sin embargo, al cambiar de parámetro, la ecuación no conserva la forma que escribiste. Esa forma se conserva si y sólo si el nuevo parámetro se relaciona con el antiguo mediante una transformación lineal no homogénea en general.

Respuestas (2)

Parametrización de la Ecuación Geodésica en GR

Puedes usar el tiempo en lugar del tiempo apropiado porque $dt/d\tau \neq 0$ ya que la curva es temporal (si entiendo correctamente). Sin embargo, al cambiar de parámetro, la ecuación no conserva la forma que escribiste. Esa forma se conserva si y sólo si el nuevo parámetro se relaciona con el antiguo mediante una transformación lineal no homogénea en general.

qmecanico · Answer 1

OP considera la ecuación geodésica afín (GE)
$\begin{matrix} (1) & \frac{d^{2} X^{m}}{d λ^{2}} + Γ_{α β}^{m} \frac{d X^{α}}{d λ} \frac{d X^{β}}{d λ} = 0. \end{matrix}$ ${d^2 x^{\mu} \over d\lambda^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta} {dx^{\alpha} \over d\lambda} {dx^{\beta} \over d\lambda} ~=~ 0.\tag{1}$ Para geodésicas temporales (= una partícula puntual masiva), la GE afín (1) se mantiene cuando el parámetro $\lambda$ está relacionado afínmente con la longitud del arco $s=c\tau=a\lambda+b$ de la geodésica. (Aquí $\tau$ es el momento adecuado .)
Para una parametrización genérica $\lambda$ la GE contiene un término extra proporcional a la velocidad:
$\begin{matrix} (2) & \frac{d^{2} X^{m}}{d λ^{2}} + Γ_{α β}^{m} \frac{d X^{α}}{d λ} \frac{d X^{β}}{d λ} \propto \frac{d X^{m}}{d λ}, \end{matrix}$ ${d^2 x^{\mu} \over d\lambda^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta} {dx^\alpha \over d\lambda} {dx^\beta \over d\lambda} ~\propto~ {d x^{\mu} \over d\lambda},\tag{2}$ cf, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí . Para ser específico, si $\frac{d\tau}{d\lambda}=f(\lambda)$ , entonces el GE lee $\begin{matrix} (2') & \frac{d^{2} X^{m}}{d λ^{2}} + Γ_{α β}^{m} \frac{d X^{α}}{d λ} \frac{d X^{β}}{d λ} = \frac{d en | F |}{d λ} \frac{d X^{m}}{d λ} . \end{matrix}$ ${d^2 x^{\mu} \over d\lambda^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta} {dx^\alpha \over d\lambda} {dx^\beta \over d\lambda}~=~ \frac{d\ln |f|}{d\lambda}{d x^{\mu} \over d\lambda}.\tag{2'}$
De forma genérica, si elegimos una determinada coordenada de tiempo $t=\lambda$ como parametrización, tenemos que usar el GE (2) en lugar del GE afín (1).

Juan Rennie · Answer 2

$\lambda$ puede ser cualquier parámetro afín. Para una discusión interesante de esto, lea las respuestas a ¿ Cuál es el significado físico del parámetro afín para la geodésica nula?

Sin embargo, el tiempo de coordenadas no es un parámetro afín. Puede reescribir la ecuación geodésica usando el tiempo de coordenadas usando la regla de la cadena, pero como se menciona en la respuesta de Qmechanic, esto introduce un término adicional:

\frac{d^{2} X^{m}}{d t^{2}} + Γ_{α β}^{m} \frac{d X^{α}}{d t} \frac{d X^{β}}{d t} - Γ_{α β}^{0} \frac{d X^{α}}{d t} \frac{d X^{β}}{d t} \frac{d X^{m}}{d t} = 0

$\frac{d^2x^{\mu}}{dt^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta}\frac{dx^{\alpha}}{dt}\frac{dx^{\beta}}{dt} - \Gamma^{0}_{\alpha \beta}\frac{dx^{\alpha}}{dt}\frac{dx^{\beta}}{dt}\frac{dx^{\mu}}{dt} = 0$

Esto está claro ahora. Pero, ¿cómo encuentras que (en este caso) el término adicional es el que escribiste? Usé la regla de la cadena y obtuve un término adicional proporcional a la velocidad, pero el factor que está delante tiene algo que ver con la derivada del parámetro de la nueva parametrización con respecto al parámetro de la anterior. No veo cómo obtienes ese símbolo de Christoffel con el índice superior 0.
@Mathew, para ser honesto, no trabajé en la derivación, solo busqué el resultado.
¿Podría compartir el recurso donde encontró ese resultado?

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