Coordenadas normales de Riemann y marcos inerciales en relatividad general

El principio de equivalencia débil establece que para fragmentos infinitesimales de espacio y tiempo, las leyes de la naturaleza son idénticas a las de la relatividad especial. Esto se refleja matemáticamente en la existencia de coordenadas normales de Riemann en cada punto de la variedad. Las geodésicas son líneas rectas en estas coordenadas, como se esperaba, ya que se espera que las partículas se muevan en línea recta en la relatividad especial. Sin embargo, no entiendo completamente la relación entre estas coordenadas y los marcos de inercia.

Considere el caso de una partícula que se mueve a lo largo de una geodésica; podemos construir coordenadas normales en cada punto de su trayectoria. Sin embargo, dependiendo de cómo defina mi base de tétrada, las coordenadas de cada uno de los puntos cercanos a la partícula serán diferentes. Me parece que hay una orientación especial a la base de tétrada que podemos elegir. Podemos definir el vector base "tiempo" para que sea tangente a la trayectoria de la partícula y los otros vectores "espaciales" para que sean ortogonales a este vector. Entonces, a medida que la partícula se mueve a lo largo de su camino en un tiempo infinitesimal, la magnitud de las coordenadas "espaciales" no variará con solo cambiar la coordenada "temporal". Este es un marco inercial en el que las geodésicas son líneas rectas y la partícula no se mueve en su propio marco de referencia (al menos durante un tiempo infinitesimal antes de que cambiemos a un conjunto diferente de coordenadas normales adaptadas a un punto diferente). ¿Es esto lo que queremos decir con un marco inercial? Si es así, ¿cuál es la interpretación de las coordenadas normales que se pueden construir de manera que la base de "tiempo" no sea tangente a la trayectoria de la partícula, y donde todos los componentes cambien a medida que la partícula se mueve?

Ahora, por otro lado, digamos que una partícula se mueve a lo largo de una curva en la variedad con una cuatro aceleración distinta de cero. En cada punto en el tiempo de su trayectoria, aún es posible construir coordenadas normales en la posición de la partícula. Si seguimos el mismo procedimiento que antes y definimos el vector "tiempo" para que sea tangente a la trayectoria de la partícula en un punto p, la geodésica a lo largo de esa tangente que comienza en p parecerá estar parametrizada por coordenadas dadas por:$(t,0,0,0)$(donde t es el parámetro). Sin embargo, dado que la partícula no se mueve a lo largo de una geodésica, la posición de la partícula no puede parametrizarse simplemente por$(t,0,0,0)$y debe haber un cambio de posición también. Esto significa que no hay coordenadas normales en las que una partícula acelerada pueda ver las geodésicas como líneas rectas y al mismo tiempo estar en "reposo" (en las coordenadas normales). ¿Es esto un reflejo del hecho de que los observadores que aceleran no pueden estar en marcos de referencia inerciales? En ese caso, ¿puede el marco que construimos ser considerado un marco de referencia con movimiento conjunto?

No estoy seguro de si esta es la forma correcta de pensar en las coordenadas normales, por lo que se agradece cualquier ayuda.