Geodésicas en Kerr

Estoy interesado en trazar las trayectorias de geodésicas nulas cerca de un agujero negro giratorio sin carga (descrito por la solución de Kerr) que involucra un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Los espaciotiempos de Kerr son estacionarios y axialmente simétricos, por lo que, debido a la existencia de estos dos campos de muerte, solo estoy interesado en la "proyección" de estas trayectorias en el$(r, \theta)$-avión.

Mediante el uso de leyes de conservación, las ecuaciones que describen estas geodésicas nulas vienen dadas por el siguiente sistema de ODE (que se puede encontrar, específicamente, al final de$\S$62 en el libro de Chandrasekhar 'La teoría matemática de los agujeros negros' , pero también en casi cualquier otro libro que describa la geometría de los agujeros negros de Kerr)

$$\rho^4 \dot{r}^2 = E^2r^4 + (a^2E^2 - L_z^2 - \mathscr{L})r^2 + 2Mr(\mathscr{L} + (L_z - aE)^2) - a^2\mathscr{L} \tag{1}$$

$$\rho^4\dot{\theta}^2 = \mathscr{L} + (a^2 E^2 - L_z^2\csc^2\theta)\cos^2\theta \tag{2}$$

$$\rho^2\dot{\phi} = \frac{2aMrE + (\rho^2 - 2Mr)L_z\csc^2\theta}{\Delta}$$

$$\rho^2\dot{t} = \frac{\Sigma^2E - 2aMrL_z}{\Delta}$$

Dónde$\dot{x^\mu}$denota diferenciación con algún parámetro afín$\lambda$. tenemos eso$E, L_z$y$\mathscr{L}$son constantes de movimiento/cantidades conservadas,$a$y$M$son los parámetros de Kerr tales que$0 < a^2 < M^2, M> 0$($M$generalmente se toma como 1) y

$$\rho^2 = r^2 + a^2\cos^2\theta, \quad \Delta = r^2 + a^2 - 2Mr$$

(en este momento no puedo recordar muy bien lo que$\Sigma$es, pero no creo que sea particularmente importante ya que siento que realmente solo estoy interesado en las ecuaciones (1) y (2)).

Las ecuaciones (1) y (2) se pueden reescribir ligeramente dividiendo ambas por$E^2$, dando

$$\frac{\rho^4}{E^2} \dot{r}^2 = r^4 + (a^2 - \xi^2 - \eta)r^2 + 2M(\eta + (\xi - a)^2))r - a^2\eta \tag{3}$$

$$\frac{\rho^4}{E^2}\dot{\theta}^2 = \eta + a^2\cos^2\theta - \xi^2\cot^2\theta \tag{4}$$

Explícitamente,

$$\eta = \frac{\mathscr{L}}{E^2} \quad and \quad \xi = \frac{L_z}{E}$$

En esta forma parece como si (según$\S$63 de Chandrasekhar ) la única restricción puesta en las constantes$E, \eta$y$\xi$es eso$\eta > 0$.

Tengo un par de preguntas con respecto a cómo (teóricamente) uno podría aproximar numéricamente (y posteriormente trazar) el$r$y$\theta$soluciones de este sistema de ecuaciones diferenciales.

Primero, para mí, parece como si, dado que solo estoy interesado en el$(r, \theta)$movimiento de cualquier geodésica nula dada, entonces solo me preocuparía por resolver numéricamente (3) y (4), es decir, aunque hay 4 ecuaciones que gobiernan el movimiento total de la geodésica, ya que (3) y (4) son independiente de$t$y$\phi$parece que las ecuaciones (3) y (4) son una especie de ecuaciones independientes que gobiernan el movimiento en el$(r, \theta)$-avión. ¿Es correcta esta afirmación mía? ¿Necesito solo tratar con las ecuaciones (3) y (4)?

Otra preocupación mía es esa; He leído que las geodésicas dentro y alrededor de un agujero negro (con$\eta > 0$) oscilan simétricamente sobre el plano ecuatorial ($\theta = \pi/2$) y las geodésicas que hacen esto 'tardan infinitamente' en caer en el agujero negro, es decir, a medida que oscilan hacia el agujero negro, tardan un tiempo infinito en coordenadas para caer en el agujero negro. Este hecho me preocupa porque al conectar (3) y (4) en Mathematica, las ecuaciones deben parametrizarse, por lo que realmente el sistema parece

$$\frac{[r(\lambda)^2 + a^2\cos^2\theta(\lambda)]^2}{E^2} \dot{r}(\lambda)^2 = r(\lambda)^4 + (a^2 - \xi^2 - \eta)r(\lambda)^2 + 2M(\eta + (\xi - a)^2))r(\lambda) - a^2\eta$$

$$\frac{[r(\lambda)^2 + a^2\cos^2\theta(\lambda)]^2}{E^2}\dot{\theta}(\lambda)^2 = \eta + a^2\cos^2\theta(\lambda) - \xi^2\cot^2\theta(\lambda)$$

En cuyo caso, ¿esta 'cantidad infinita de tiempo coordinado' que se necesita para caer en el agujero negro afecta el tamaño del dominio que uno tendría que permitir?$\lambda$? si lo hace; en teoría, esto no es un problema, pero en la práctica no es realmente factible.

Estas dos últimas preguntas tienen un poco más que ver con la implementación y menos con la teoría.

¿Es realmente más útil tratar con estas ((3) y (4)) ecuaciones que simplemente trabajar directamente a partir de las ecuaciones geodésicas, desde un punto de vista numérico, es decir?

Y, por último, recientemente descubrí que uno puede desacoplar (3) y (4) y me preguntaba (nuevamente desde un punto de vista numérico) si hay algún beneficio en trabajar con ecuaciones desacopladas en lugar de estas acopladas.

Cualquier aporte sobre cualquiera de mis preguntas/inquietudes anteriores sería muy apreciado.