¿Cuál es la diferencia entre ψψ\psi y |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle?

$\psi (\vec{r},t)$es como dijiste, solo una forma de expresar el vector$|\psi (t)\rangle$en 'espacio de posición', expresado matemáticamente como está escrito en los comentarios:

$$\psi (\vec{r},t) = \langle \vec{r} | \psi(t) \rangle = \int \delta(r'-r)\psi(t) d^3 r$$

Velut Luna da la respuesta principal. Uno puede ver esto porque tenemos la expectativa de probabilidad$1~=~\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle$y con la suma de terminación$\mathbb I~=~\int d^3r|\vec r\rangle\langle \vec r|$entonces tenemos

$$1~=~\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle~=~\langle\psi(t)|\left(\int d^3r|\vec r\rangle\langle\vec r|\right)|\psi(t)\rangle~=~\int d^3r\langle\psi(t)| \vec r\rangle\langle\vec r|\psi(t)\rangle.$$ En la forma de función de onda tenemos unidad de probabilidad como $$\int d^3r\psi^*(\vec r,t)\psi(\vec r,t).$$ la identificación es obvia.

Es conveniente pensar en$\vert\psi\rangle$como un vector con componentes$\langle x\vert\psi\rangle=\psi(x)$para varios valores de$x$. Si imagina valores discretos en lugar de continuos de$x$, entonces el vector$\vert\psi\rangle$sería el vector columna infinito

$$\left(\begin{array}{c} \vdots \\ \psi(x_{n-2})\\ \psi(x_{n-1})\\ \psi(x_{n})\\ \psi(x_{n+1})\\ \psi(x_{n+2})\\ \vdots \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \vdots \\ \langle x_{n-2}\vert \psi\rangle \\ \langle x_{n-1}\vert \psi\rangle \\ \langle x_{n}\vert \psi\rangle \\ \langle x_{n+1}\vert \psi\rangle \\ \langle x_{n+2}\vert \psi\rangle \\ \vdots \end{array}\right)$$ obtenido al descomponer el vector $\vert\psi\rangle$sobre la base de los estados $\{\ldots, \vert x_{n-2}\rangle,\vert x_{n-1}\rangle,\vert x_{n}\rangle,\vert x_{n+1}\rangle,\vert x_{n+2}\rangle\ldots\}$

Hay una distinción que, en mi opinión, es bastante profunda y sutil acerca de las dos notaciones diferentes. El segundo es mucho más versátil que el primero y universalmente utilizable en mecánica cuántica (mientras que el primero no lo es). Para aclarar, las dos notaciones son:

• Una función de valor complejo$\psi(\cdot)$, con algo de espacio - por ejemplo $\mathbb{R}^d$o$\{\uparrow,\downarrow\} \times \mathbb{R}^d$- como dominio.
• Un vector en un espacio de Hilbert$\psi\in\mathscr{H}$(o$\lvert \psi\rangle$si lo prefieres, usaré el primero).

La explicación de por qué el segundo es más universal es la siguiente. Sabemos que cualquier sistema cuántico físico "razonable" puede describirse matemáticamente mediante el llamado álgebra C* no abeliana, que representa el conjunto de observables (no conmutativos) del sistema. A su vez, cualquier C*-álgebra puede representarse mediante un conjunto de transformaciones lineales en algún espacio de Hilbert.

Ahora, el álgebra C* de$N$ partículas cuánticas no relativistas en$d$las dimensiones del espacio tienen una única representación irreductible hasta la equivalencia unitaria (sin entrar en detalles, las repr. irreducibles son las relevantes). Tal representación es el álgebra de operadores (acotados) en el espacio$L^2(\mathbb{R}^{dN})$, y los operadores autoadjuntos (ilimitados)$(x_1,\dotsc,x_N)$y$(-i\nabla_1,\dotsc,-i\nabla_N)$representan los operadores de posición y momento de cada partícula. Por lo tanto, en este caso es natural escribir un elemento del espacio de Hilbert de la mecánica cuántica no relativista como una función (de onda)$\psi(x_1,\dotsc,x_N)\in L^2(\mathbb{R}^{dN})$.

Esto último, sin embargo, deja de ser cierto para la mecánica cuántica relativista: hay infinitas representaciones no equivalentes irreducibles para las álgebras de campos cuánticos observables y, en particular, no hay una descripción natural única en términos de una función de onda (al). En este caso, por lo tanto, la notación funcional$\psi(\cdot)$, incluso en representaciones donde es viable, sería bastante ambiguo y no tan "universal" como lo es en la mecánica cuántica no relativista.

En conclusión, en lo que respecta a la mecánica cuántica no relativista, la distinción es casi solo estética, mientras que para teorías más generales (relativistas) uno debería abandonar por completo la idea de una "función de onda" y considerar representaciones más abstractas de la conmutación canónica. relaciones, para las cuales la notación$\psi(\cdot)$podría no tener sentido (mientras$\psi$todavía tiene sentido).

Finalmente, permítanme también anticipar algunos posibles comentarios. Es cierto que todos los espacios separables de Hilbert de dimensión infinita son isomorfos, pero todavía hay representaciones no equivalentes del álgebra C* en sistemas relativistas. Dado el vector de vacío$\Omega$en una representación separable dada$\mathscr{K}$, de hecho es posible asignarlo a una función de onda en, por ejemplo $L^2(\mathbb{R})$, pero es imposible decir cuál sería el operador de campo en este último (y por lo tanto el mapa es inútil).