Un producto tensorial de dos partículas de spin-1

Estoy bastante confundido, y esperaba que alguien pudiera ayudarme a resolver este problema (probablemente bastante elemental). Tengo dos partículas con espín 1, cuyo estado describo por$m_S$y$m_I$respectivamente. Ambos pueden tomar los valores -1, 0 y 1.

Ahora, lo que quiero hacer es calcular un producto tensorial. Ahora, aquí es donde podría estar equivocándome, pero por supuesto tengo que elegir una base. ¿Sería posible decir que$\left|m_s = 1\right> = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$,$\left|m_s = 0\right> = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$,$\left|m_s = -1\right> = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$,$\left|m_I = 1\right> = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$,$\left|m_I = 0\right> = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$,$\left|m_I = -1\right> = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

Supongo que aquí podría ser donde las cosas empiezan a salir mal, ya que tal vez no pueda elegir los mismos vectores base para dos partículas. De todos modos, SI lo anterior es cierto, me gustaría, por ejemplo, calcular

$\frac{1}{\sqrt{2}}(\left|m_s = 0\right> -i\left|m_s = -1\right>) \otimes \left|m_I = -1\right>$

Ahora, tal como lo veo, esto sería simplemente un vector de 9x1 igual a

Sin embargo, no estoy seguro si lo que estoy escribiendo aquí es correcto. En la siguiente parte de mis cálculos, introduzco un término hamiltoniano, que hace que el espín de la primera partícula evolucione dependiendo del espín de la segunda partícula, y al resolver los términos parece que las cosas salen terriblemente mal. Como el hamiltoniano es simplemente una constante multiplicada por el producto tensorial de las dos matrices de espín z pauli para una partícula de espín 1, no hay mucho que pueda salir mal allí, así que pensé que el error debe estar aquí en alguna parte.