Contracción de un sistema giratorio.

Veamos la hodógrafa de un movimiento de radio constante y velocidad constante.

Izquierda: trayectoria de una de las masas. Derecha: hodógrafa, es decir, lugar geométrico de los vectores de velocidad.

Ahora, veamos más de cerca cómo cambia la velocidad durante un pequeño intervalo de tiempo.$\mathrm dt$.

Se necesita una fuerza para girarlo (diferencia entre las flechas marrón y roja). Si ejerces una fuerza mayor, ves que:

• la velocidad aumenta en la norma (la flecha magenta es más larga)
• la velocidad gira más rápido (el ángulo rojo-magenta es más grande que el rojo-marrón)

La clave para comprender el fenómeno es darse cuenta de que las direcciones radial y ortorradial no son fijas : la dirección radial en el tiempo$t$pronto será la dirección ortorradial en algún momento$t'$. Así, cuando dices "la fuerza radial cambia$v_r$", de hecho deberías decir "la fuerza radial cambia tanto $v_r$y$v_θ$".

Para una explicación más formal, observe la aceleración a lo largo$\hat r$y$\hat θ$no es la derivada de la amplitud de la velocidad a lo largo$\hat r$y$\hat θ$. En efecto,$\vec v=v_r \hat r+v_θ \hat θ$, entonces$\vec a=(\dot{v_r}-v_θ\dot θ)\hat r+(v_r\dot θ+\dot{v_θ})\hat θ$, eso es$a_r=\dot{v_r}-v_θ\dot θ$y$a_θ=v_r\dot θ+\dot{v_θ}$. Por eso$a_θ=0$No implica$v_θ=\text{const.}$, bastante$\dot{v_θ}=-v_r\dot θ$: debido a la rotación ($\dot θ≠0$), velocidad radial ($v_r$) se "convierte" en variación de la velocidad ortorradial ($\dot{v_θ}$).