Matar vectores en la métrica de Schwarzschild

Question

Matar vectores en la métrica de Schwarzschild

arturo don juan

Dada la métrica de Schwarzschild con $(-,+,+,+)$ firma,

d s^{2} = - (1 - \frac{2 METRO}{r}) d t^{2} + {(1 - \frac{2 METRO}{r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} (d θ^{2} + {pecado}^{2} θ d ϕ^{2})

$\text ds^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2+\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2)$

la falta de dependencia de la métrica en $t$ y $\phi$ permítanos leer los vectores Killing $K_1=\partial_t$ y $K_2=\partial_{\phi}$ . Estos vectores, en sus representaciones coordinadas, vienen dados por

k_{1} = (- (1 - \frac{2 METRO}{r}), 0, 0, 0)

$K_1=\left(-\left(1-\frac{2M}{r}\right),0,0,0\right)$

k_{2} = (0, 0, 0, r^{2} {pecado}^{2} θ)

$K_2=\left(0,0,0,r^2\sin^2\theta\right)$

¿Cómo se leen inmediatamente esos componentes vectoriales para $K_1$ y $K_2$ ? ¿Cuál es la lógica detrás de leerlos? ¿Cómo podría "leer los vectores Killing" si yo, mientras no mantengo una dependencia explícita de $t$ o $\phi$ , agregó algunos términos fuera de la diagonal a la métrica? Por favor, ayúdame a entender intuitivamente lo que está pasando aquí.

magma

su pregunta tal como está no es muy clara. Lo que realmente quiere saber son los componentes covariantes de los vectores de muerte, dados los contravariantes simples . Simplemente pasa de los componentes contravariantes a los covariantes simplemente multiplicando con la métrica como lo describe Chris White en su respuesta.

Respuestas (2)

Matar vectores en la métrica de Schwarzschild

su pregunta tal como está no es muy clara. Lo que realmente quiere saber son los componentes covariantes de los vectores de muerte, dados los contravariantes simples . Simplemente pasa de los componentes contravariantes a los covariantes simplemente multiplicando con la métrica como lo describe Chris White en su respuesta.

usuario10851 · Answer 1

Si todos los componentes de la métrica son independientes de algún $x^\nu$ , entonces tienes el vector asesino $\vec{K}$ con componentes $K^\mu = \delta^\mu_\nu$ . Es decir, la forma contravariante solo tiene una constante en el espacio apropiado y ceros en otros lugares. En Schwarzschild, tienes $K^\mu = (1, 0, 0, 0)$ y $R^\mu = (0, 0, 0, 1)$ ( $\vec{K}$ y $\vec{R}$ siendo tu $K_1$ y $K_2$ , respectivamente).

Para encontrar las formas covariantes , simplemente baje con la métrica. En Schwarzschild tenemos

\begin{aligned} k_{m} & = {gramo}_{m v} k^{v} = {gramo}_{m t} = (- (1 - 2 METRO / r), 0, 0, 0) \\ R_{m} & = {gramo}_{m v} R^{v} = {gramo}_{m ϕ} = (0, 0, 0, r^{2} {pecado}^{2} θ) . \end{aligned}

$\begin{align} K_\mu & = g_{\mu\nu} K^\nu = g_{\mu t} = \big({-}(1-2M/r), 0, 0, 0\big) \\ R_\mu & = g_{\mu\nu} R^\nu = g_{\mu\phi} = \big(0, 0, 0, r^2 \sin^2\!\theta\big). \end{align}$ Aquí es donde entrarían los términos fuera de la diagonal. Por ejemplo, en Boyer-Lindquist tampoco tenemos

t

$t$ -dependencia, entonces tenemos

K^{μ} = (1, 0, 0, 0)

$K^\mu = (1, 0, 0, 0)$ y

k_{m} = {gramo}_{m t} = (- (1 - 2 METRO r / Σ), 0, 0, - (2 METRO a r / Σ) {pecado}^{2} θ),

$K_\mu = g_{\mu t} = \big({-}(1-2Mr/\Sigma), 0, 0, -(2Mar/\Sigma)\sin^2\!\theta\big),$ donde el cuarto componente es precisamente

g_{t ϕ}

$g_{t\phi}$ .

@user10851 está relacionado con el hecho de que si algún $\frac{dP_{x_0}}{d\tau}=0$ y $K^{\mu}$ es un vector Killing, entonces $K^{\mu}P_{\mu}=P_{x_0}$ ?

OTRO · Answer 2

Conceptualmente:

Si dejamos de lado la definición matemática por un momento, podemos definir el vector de muerte:

vector de matanza $K^\mu(x)$ deja la métrica sin cambios bajo cambios de coordenadas infinitesimales

Coordenada de tiempo

Cambiar en $t$ no hace nada a la métrica:

Cambiar en $t\rightarrow t+dt$ :

$g_{\mu \nu}=g_{\mu \nu}(t)=g_{\mu \nu}(t+dt)=g_{\mu \nu}$

Así que uno de los vectores asesinos debería estar presente $t$ :

$K^\mu=(1,0,0,0)$

¡Eso es todo!

Nota: El formulario que tienes tiene el índice rebajado: $K_\mu=g_{\mu \nu}K^\nu=(g_{\mu0}K^0,0,0,0)=(-(1-2M/r),0,0,0)$

Nota: Se puede usar una lógica similar para cualquier métrica. Ejemplo: Si $g_{\mu \nu} \rightarrow g_{\mu \nu}(x,y,z)$ , entonces uno de los vectores asesinos debería ser $K^\mu=(1,0,0,0)$

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